0 引言

    板球系統是一個典型的多變量、欠驅動非線性系統^[1]，從20世紀80年代開始，板球系統因其結果的直觀性以及結構的簡易性，被廣泛用于各類控制算法性能的驗證，受到國內外的廣泛關注^[2-4]。在對期望軌跡的跟蹤過程中，板球系統的控制條件干擾因素眾多。各種外界存在的不確定性擾動使得控制變得異常復雜，也給系統的精確建模帶來很多的困難，單純的線性化很難達到理想的要求^[5-6]。板球系統控制器的設計日漸成為關鍵的問題，一系列針對抑制非線性、強耦合和不確定性對系統性能影響的算法被提出，魯棒控制^[7]、滑模控制^[8]以及自適應控制^[9]等，都在一定程度上提高了系統的響應速度和控制精度。

    滑模變結構控制作為控制理論中一種特殊的非線性控制策略，可以根據系統當前的狀態，控制系統按照預定的狀態軌跡運動^[10-11]。這種滑動模態的設計對系統參數和外部干擾均有很好的魯棒性。且因算法相對簡單，在工程實現過程較為容易，而被廣泛應用于實際現場設備。但是滑模變結構的開關特性會引發實際系統強烈的高頻抖振問題^[12]。這種高頻抖振會破壞系統的穩定性，影響系統的控制精度。為了解決這一問題，文獻[13]重點討論了模糊滑模控制的方法，通過模糊算法調節指數趨近律的參數，設計了一種模糊滑模控制器。文獻[14]結合系統參數不確定性，采用自適應變結構控制方案，使得系統信號保持有界。文獻[15]采用的趨近律滑模變結構控制方法以及文獻[16]的神經網絡滑模控制都在一定程度上避免了抖振現象的出現。但是上述方法均沒有綜合考慮系統的不確定性因素和外在干擾。

    本文針對板球系統多變量、易受不確定因素影響而導致控制器難以設計、魯棒性差的問題，提出一種反演自適應動態面滑模控制方法。在反推過程中，綜合考慮每一步設計控制量時的相互制約性，在確保系統滿足Lyapunov全局漸近穩定性的基礎上，通過將自適應技術與動態滑模算法相結合，對外在干擾值進行估計，設計了新的切換函數。該方法對建模誤差、外界干擾等不確定因素均不敏感，具有良好的自適應能力和魯棒性能。

1 系統描述及分析

    板球系統的主要結構由2個直流電機、球盤、小球、攝像頭、工控機等部分構成。工控機內控制板驅動2個直流電機分別控制球盤x軸方向和y軸方向的升降，經球盤的運動可調整盤中小球位置，進而實現對期望軌跡的跟蹤。球盤上方的攝像頭結合圖像視覺系統對小球的位置信息進行實時采集。通過位置信息對比，及時調整小球位置，完成軌跡跟蹤。

    其中，動力學機構部分由于機械誤差以及控制性能各種復雜干擾條件眾多，對板球系統的精確跟蹤及抗擾性能有著很高的要求。能否有效提高板球系統動力學機構的控制性能，對板球系統的整體控制性能有著決定性的影響。為了便于動力學建模與分析，針對板球系統動力學機構，考慮以下假設情況：

    (1)任何情況下，球和平板都接觸；

    (2)不考慮板的面積和旋轉角度限制；

    (3)球在板上沒有滑動和繞其豎直中心軸的轉動；

    (4)板在x軸和y軸方向上關于其支撐點對稱。

    建立板球系統坐標系如圖1所示，參考文獻[17]，結合以上假設，依據拉格朗日力學方法進行動力學分析建立板球系統動力學狀態方程如下：

    假設x軸和y軸之間的耦合項足夠小，則板球系統可按x軸和y軸方向解耦為2個相同的子系統。將系統耦合量及不確定量設為d，由式(2)得x軸的子系統狀態方程為：

    各參數含義見表1。

2 反演自適應動態滑模控制器設計

    滑模變結構控制方法在對非線性系統的處理和控制中獲得了廣泛的應用。但常規滑模變結構控制不可避免地存在“抖振”問題。作為一種消除“抖振”的有效方法，動態滑模控制被應用到移動機器人、并聯機器人、機械臂等非線性系統中。下面利用反演法，基于動態滑模控制理論，結合自適應技術，進行控制器設計，|d_i(t，x)|≤D（D為干擾上界）。

    步驟1 令指令信號為連續函數x₁，結合式（4）第1個方程，定義系統誤差面為e₁=x₁-x_1d。預選Lyapunov函數對時間求導得:

    將x₂作為式(5)的虛擬控制變量，設常數c₁為正實數，設計反饋控制律為：

3 實驗仿真及分析

3.1 實驗仿真

    為了驗證本文算法所設計動態滑模控制器的控制精度以及運行時間等性能，分別對板球系統的x軸、y軸設計軌跡跟蹤模型。實驗仿真環境為MATLAB 2015a, CPU為Intel Core i5，內存為DDR3 4 GB，實驗平臺參數如表2所示。

    實驗所用期望軌跡跟蹤模型如式(24)所示，該模型起始點設為(0，0)，幅值為0.1 m，在x軸和y軸上分別做正弦、余弦曲線跟蹤。

    分別考慮本文算法在有擾動和無擾動情況下對期望軌跡的跟蹤性能。在相同的擾動條件下，采用動態滑模對x軸、y軸及圓形軌跡的期望軌跡進行跟蹤，作為與本文方法的實驗對比。仿真結果數據比較見表3。

3.2 仿真結果分析

    由圖2（a）和圖2（b）仿真結果可以看出，在受擾情況下，動態滑模體現出了一定的魯棒性。通過與本文算法相對比，本文算法在加入自適應調整策略干擾上界預估后，在跟蹤精度和快速性方面具有更好的控制性能。由圖3（a）和圖3（b）可知，在無擾動狀態下，動態滑模和本文方法均實現了對期望軌跡的有效追蹤，本文方法快速性較好，在跟蹤精度方面也獲得了有效提升。在圖4中，分別針對不同干擾情況，采用2種算法對圓形軌跡進行跟蹤，通過精度對比可知，本文方法在系統受到外界干擾的情況下，可以有效減弱干擾影響，相比于動態滑模，在控制精度與快速性方面均獲得提升。

4 結論

    本文以板球系統為對象，針對板球系統在不確定干擾下的軌跡跟蹤精度問題，提出了一種反演自適應動態滑模控制方法。該方法應用自適應滑模控制算法對干擾邊界進行估計，設計了新的切換函數，有效解決了傳統滑模的抖振問題，同時提高了系統的響應速度，降低了外界干擾的影響，大大增強了系統對自身參數攝動的非脆弱性，保證了系統在Lyapunov意義下的漸近穩定性。通過與動態滑模方法進行仿真對比，表明了該方法的有效性。下一步的工作重點是結合群智能算法對控制因子進行調整，針對兩軸間的耦合誤差做進一步研究。

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作者信息:

郝  偉，張宏立

（新疆大學 電氣工程學院，新疆 烏魯木齊830047）