張美娟
(南京郵電大學 通信與信息工程學院，江蘇 南京 210003）
摘要：針對MIMO系統信道的聯合稀疏特性，提出一種基于分布式壓縮感知(DCS)的MIMO-OFDM系統信道估計方法。分布式壓縮感知（DCS）被視為分布式信源編碼和壓縮感知（CS）的結合，論文詳細論證了分布式壓縮感知理論在MIMO-OFDM系統中運用的可行性。將該算法與基于壓縮感知理論的CoSAMP算法做比較，仿真結果表明，基于DCS算法的信道估計不僅性能更優，而且可以實現更低的時間復雜度。
關鍵詞：分布式壓縮感知；MIMO-OFDM；信道估計
0引言
多輸入多輸出（Multiple Input Multiple Output，MIMO）技術在現代通信系統中得到了廣泛的應用，MIMO通信系統與OFDM技術相結合，可以有效地提高無線通信系統的頻譜利用率和傳輸鏈路的可靠性，增大系統容量。在目前常用的MIMOOFDM通信系統中，接收端一般通過相干檢測進行信號解調，相比于非相干解調可以獲得更大的輸出信噪比，因此需要精確地估計出信道的狀態信息。
MIMOOFDM系統信道在任何一對發送接收天線之間呈現聯合稀疏特性，利用這種聯合稀疏特性進行信道估計，可以獲得更好的信道估計性能。分布式壓縮感知（Distributed Compressed Sensing, DCS）理論為上述信道估計方法提供了理論基礎。
壓縮感知理論［1 5］是根據各個信號之間的相關性來實現的。在MIMOOFDM無線通信系統中，各天線傳送的信息進行聯合編碼，根據各子信道間的相關性研究DCS理論。在文獻［6］中，BARON D等人首次提出了分布式壓縮感知理論的概念，并做了相關的理論研究，之后在文獻［7］中證明了譯碼端需要測量值的上限和下限。在文獻［8］中，DUARTE M F等人針對MIMO通信系統、語音信號等應用場景設計了聯合稀疏模型，并根據稀疏模型設計了信號的聯合譯碼算法。
本文提出將分布式壓縮感知［6 8］算法應用于MIMOOFDM系統進行信道估計，在考慮信號之間相關性的情況下可以有效地減少信號的采樣數，將該算法與其他重構算法做比較，得出該算法以增加部分算法復雜度換取了較優的信道估計性能。
1MIMO理論與分布式壓縮感知
1.1MIMO技術原理
假設一個MIMOOFDM系統的發送端天線數為nt，接收端的接收天線數量為nr，在第n根發送天線上傳送的OFDM符號可以表示為：
其中，XLn表示在第n根發送天線上傳送的第L個子載波的數據信息。在接收端，第m個接收天線接收到的第L個子載波的數據信息可以表示為：
其中，Hkn,m表示從發送端第n個天線到接收端第m個接收天線之間的信道的衰落因子，Wkm表示第k個子載波上的信道高斯白噪聲，矩陣形式可以表示為：
其中，
表示nt維的信號發送向量，
表示nr維的信號接收向量，
…,Wknr表示nr維的信道高斯白噪聲，Hk表示信道的空間變換矩陣。
1.2分布式壓縮感知
分布式壓縮感知理論主要依賴于信號間的聯合稀疏。BARON D等人［68］的研究提出了3種有效的聯合稀疏模型（Joint Sparse Model, JSM）,分別是根據一些可能的使用場景提出來的。
?。?）第一聯合稀疏模型（JSM1）
在JSM1模型中，信號集中的每一個信號都是由通用部分加上特征部分兩部分所組成。信號的通用部分表示信號集中信號的相似部分，特征部分表示每個信號所特有的部分。假設信號集中信號的通用部分和特征部分在某一個稀疏域上都具有稀疏特性。則可以表示為：
其中，Zc=ψΘc，Θc0=Kc，Zj=ΨΘj，Θj0=Kj，J表示信號集中信號的個數。
對于信號集中的信號Xj而言是由兩部分組成，Zc是稀疏信號的通用部分，稀疏信號Zc在稀疏基Ψ上的稀疏度為Kc；Zj表示稀疏信號的特征部分，稀疏信號Zj在稀疏基Ψ上的稀疏度為Kj。此外，用參數Ic表示系數矩陣Θc的指標集合，即系數矩陣Θc中所有非零元素的具體位置；參數Ij表示的是系數矩陣Θj的指標集合。
?。?）第二聯合稀疏模型（JSM2）
JSM2模型的典型應用場景便是MIMOOFDM系統。在JSM2模型中，信號集中的所有信號在某一個稀疏基上都具有稀疏特性，而且所有信號經過這個稀疏基變換后，所有非零元素的所在位置均相同，只是元素在該位置的幅度有所差異。JSM2模型信號集中的所有信號的稀疏基相同而系數矩陣不同，表示如下：
其中，Θj0=K，而且{Θj}(j∈{1,2,…，J})具有相同的稀疏基Ψ。信號集中所有信號的非零元素標號一樣，原信號Xj的稀疏度均為K。
?。?）第三聯合稀疏模型（JSM3）
JSM3的典型應用場景是帶噪聲的MIMOOFDM通信系統。在JSM3模型中，首先對非稀疏的通用部分信號進行觀測重構，獲得通用部分的信息，然后用整個接收信號減去估計出來的通用部分，將剩下的稀疏特征部分進行壓縮感知重構。實際上JSM3模型可以看作是對JSM1模型的一個擴展，JSM3模型可以表示為：
其中Zc=ΨΘc，Zj=ΨΘj，Θj0=Kj，而且Zc是非稀疏的。在JSM3模型中，由于信號的通用部分不具有稀疏性，因此不可以對信號的通用部分和特征部分分別進行獨立重構，只能進行信號的聯合重構。
2MIMOOFDM系統模型
在MIMOOFDM通信系統中，假設有nt個發送天線和nr個接收天線，OFDM調制的子載波數為N，用g(n,m)表示第m個發送天線和第n個接收天線之間的信道沖擊響應（Channel Impulse Response, CIR）, 則在第m個發送天線和第n個接收天線所傳送信號的第k個子載波上的信道頻率響應（Channel Frequency Response, CFR）可以表示如下：
對于某一確定的t時刻，接收端接收到的Nnr維接收信號可以表示為：
其中，X=(X1,X2,…，Xnt)是一個Nnrt×Nntnr維的對角陣，X可以表示為：
在式(8)中，xkm=［xkm(1),xkm(2)，…，xkm(t)］表示為第m個發送天線在時刻t傳輸的信號在第k個子載波上的信息。F是一個Nnrnt×Lntnr維的對角陣，可以表示為：
其中，P表示N×L的離散傅里葉變換矩陣。h表示Lntnr×1的信道沖擊響應矩陣，具體表示為：
其中，h(n,m)表示第m個發送天線到第n個接收天線之間的L×1信道沖擊響應矩陣。式(7)中的w表示Nnrt×1的加性高斯白噪聲，可以通過向量表示為w=(w1,w2,…,wnr),其中wn=［w1n(1),w1n(2),…,w1n(t),…,wNn(1),wNn(2)，…，wNn(t)］T是一個Nt×1的高斯白噪聲矩陣，wkn(t)表示在t時刻，第n個接收天線接收到信號的第k個子載波上的噪聲信號，噪聲信號的均值為0，方差為σ2w。
根據壓縮感知理論，Nnr×Lntnr維的測量矩陣Z根據下式計算：
接收到的測量矩陣y則表示為：
3MIMOOFDM系統信道估計
3.1基于CoSAMP算法的信道估計方法
壓縮采樣匹配追蹤（Compressive Sampling Matching Pursuit ,CoSAMP）算法也是一種貪婪迭代算法。對于稀疏度較高的信號，CoSAMP有更好的重構性能。CoSAMP算法有效地結合了貪婪迭代算法的高效性和凸優化算法的穩定性。
CoSAMP算法實現的基本思想是：當信號的稀疏度K已知時，計算重構出來的信號和信號殘差之間的相關性，選取其中相關性最大的2K個元素，將這2K個元素的索引值及其所對應的原子加入到信號原子的候選集中，然后從該候選集中刪除部分原子使其剩余的原子數等于信號的稀疏度K。當迭代的次數等于信號的稀疏度，或者信號殘差小于預設置的閾值時，迭代停止。
CoSAMP算法的具體實現步驟如下：
輸入：觀測矩陣Φ，測量矩陣y，信號稀疏度K；
輸出：x的K稀疏逼近；
初始化：迭代次數k=1，殘差r=y，索引集S=,J=，原子候選集Ω=；
(1)計算恢復信號和殘差間的相關系數u=|〈y，rk-1〉|，選出其中最大的2K個列向量并將其標號計入J中；
?。?）將第（1）步中的列向量合并到索引集中Sk=Sk-1∪J；
(3)將索引集中的原子刪除部分留下K個原子加入到候選集Ωk中；
(4)根據LS準則計算k；
(5)更新殘差：r=y-Φk，k=k+1；
(6)檢查殘差值和k的值，若滿足迭代停止條件，則停止迭代；否則，返回第(1)步繼續計算；
(7)重構出x的K稀疏逼近。
3.2基于DCS算法的信道估計方法
DCS算法的具體實現步驟表示如下：
輸入：測量矩陣Φm，觀測向量ynm；
輸出：hnm的近似估計nm；
初始化：初始值nm=0，殘差rnm=ynm，迭代次數k=0，稀疏索引j=0，原子候選集Ω=；
(1)增加迭代次數：k=k+1，增加稀疏指數：j=j+1；
(2)計算信道估計差值：enm=Φ+mrnm；
(3)合并信道估計殘差：e=∑ntm=1∑nrn=1(enm·enm)；
(4)更新原子支撐集：Ωk=sup{e,2j}，Tnm=Ωk∪sup{nm,j-1}；
(5)計算信道估計值：bnm|Tnm=Φ+m|Tnm·y+nm，bnm|TCnm=0；
(6)計算信道相關性：Λ=sup(b,j)；
(7)更新信道估計結果：nm|Λ=bnm|Λ，nm|Λc=0；
(8)更新殘差：rnm=ynm-ΦMnm；
(9)檢查殘差值rnm，若滿足迭代停止條件，則停止算法的迭代；否則，返回第(1)步繼續迭代計算。
4仿真與性能分析
仿真參數設定如下：發送天線數nt=2，子載波數N=16，32，64，128，接收天線數nr=2，車載CIR長度L=78，子載波調制方式為BPSK，信道類型為瑞利衰落信道，信道稀疏度s=8，抽樣頻率為30.72 MHz。
仿真結果通過歸一化均方誤差（Mean Square Error，MSE）這一參數衡量各不同算法的性能。MSE定義為：
第一組仿真結果分析了在N=16和L=312時，車載移動信道環境下的2×2 MIMOOFDM系統MSE性能。對接收信號觀測的時間間隔為t=20 μs。仿真結果如圖1所示。可以看出，DCS算法和CoSAMP算法的性能相差無幾，但是，DCS算法的收斂迭代次數T=8，而CoSAMP算法的收斂迭代次數L=312。因此，DCS算法相對于CoSAMP算法可以通過很少的迭代來實現同樣的性能，DCS算法實現的復雜度更低，節省算法的計算時間。
第二組和第三組仿真比較了當L=312，N的值分別為32和64時的MSE性能。對接收信號觀測的時間間隔為t=20 μs。從圖2、3仿真結果可以看出，DCS算法相對于CoSAMP算法自始至終保持了一定的性能優勢。雖然DCS算法和CoSAMP算法在增加信噪比時，系統性能相對于傳統信道估計算法都有著明顯的提升，但是DCS算法相對于CoSAMP算法其性能優勢更為明顯，自始至終DCS算法都對CoSAMP算法保持著5 dB的性能優勢。
第四組仿真結果比較了當L=312時，在不同子載波數情況下的MSE性能。設接收信號觀測的時間間隔為t=20 μs。仿真結果如圖4?？梢钥闯觯琈SE性能隨著子載波數的增加而增加。這是因為N值越高意味著可以得到更多的測量結果來估計信道沖擊響應的長度L。當子載波數N達到256時，DCS算法甚至可以用來估計信道長度L高達312的信道沖擊響應。
仿真結果和上述的分析表明，DCS算法相對于一般的CS算法（比如CoSAMP算法）有更好的信道估計性能。仿真環境為車載MIMOOFDM系統的無線移動信道，DCS算法和CoSAMP算法在子載波數小于信道沖擊響應的長度的情況下，DCS算法的性能更好，復雜度更低。此外，DCS算法不需要以信道的稀疏度作為先驗條件，更為符合實際工程應用。
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