摘  要： 二維經驗模態分解（Bidimensional Empirical Mode Decompositio，BEMD）是一種優秀的多尺度幾何分析工具，特別適用于非線性、非平穩信號的分析處理。以BEMD與新型隱馬爾可夫樹（Hidden Markov Tree，HMT）模型理論為基礎，提出了一種基于BEMD的新型HMT模型的圖像去噪算法。該算法的基本思想是，首先對含噪圖像進行BEMD變換，然后采用新型HMT模型對BEMD系數進行建模，并通過期望最大（EM）算法對圖像BEMD的HMT模型參數進行估計，最后對訓練后的BEMD系數進行逆變換，以獲得去噪圖像。仿真實驗結果表明，該算法不僅擁有較強的抑制噪聲能力，而且具有較好的邊緣保護能力，其整體性能優于現有HMT圖像去噪方案。

　　關鍵詞： 圖像去噪；二維經驗模態分解；隱馬爾可夫樹；參數估計

0 引言

　　圖像在獲取和傳輸的過程中，經常會受到各種噪聲的污染。噪聲的存在將大大降低原圖像的分辨率，從而嚴重影響后續的圖像處理，如圖像檢索、圖像分割等。圖像去噪的關鍵和難點在于抑制噪聲的同時保護邊緣紋理。

　　一般說來，傳統圖像去噪方法大致可以劃分為雙邊濾波、非局部均值、條件隨機場、各向異性擴散和統計模型方法等[1]。

　　雙邊濾波[2]不僅考慮空間位置上的距離關系，同時也考慮相鄰像素灰度值之間的距離關系，通過對二者的非線性組合，在去除噪聲的同時實現了對邊緣信息的良好保留，然而，它常常使圖像過于平滑。非局部均值法[3]是利用圖像中具有重復結構的性質來去除噪聲，可以得到較好的去噪效果，但它計算復雜度高，限制了其實際應用。條件隨機場（CRFs）[4]建模比較靈活，且不需要明確的先驗模型，然而，在真實世界中，很難找到擁有全局最小值的能量函數。各向異性擴散法[5]能在保持邊緣的前提下平滑噪聲，獲得較好的去噪效果，但是該方法過于平滑圖像且邊界過于尖銳，以至于喪失了很多紋理信息。統計模型法[6]通常基于簡單的統計模型去刻畫圖像信息，這些信息往往是自然圖像的某些共同特征。統計模型的目的就是使用少量的參數捕獲這些典型的特征，并且將這些特征在圖像處理中作為先驗信息使用。

　　傳統分析工具對于圖像邊緣紋理信息捕獲不是很理想，二維經驗模態分解（Bidimensional Empirical Mode Decoposition，BEMD）[7-8]是一種新型的自適應信號時頻處理方法，特別適用于非線性、非平穩信號的分析處理。這種方法的主要思想是把一個時間序列的信號分解成不同尺度的本征模函數（IntrinsicMode Function，IMF），分解后的本征模態函數的頻率逐步降低，并在分解過程中保持信號本身的特性。它與傳統方法的主要不同之處在于不需要事先選擇“基函數”，而是根據信號本身的特性自適應地產生合適的表示函數，與小波方法相比有更好的時頻特性。綜合各種模型和多分辨率分析方法的優缺點，提出了一種基于BEMD域的新型HMT模型去噪算法。

1 BEMD變換

　　BEMD[7-8]可以將信號分解為多個局部窄帶的IMF和殘差趨勢項的和：

　　其中f（x）代表信號，n為分解層數，imfi（x）表示第i層IMF，rn（x）表示殘差趨勢項。二維經驗模態分解算法簡述如下：

　　（1）初始化：r0（x1，x2）=f（x1，x2），j=1。

　　（2）篩選抽取第j個IMF：

　　①初始化：h0（x1，x2）=rj-1（x1，x2），i=1。

　　②提取hj-1（x1，x2）的上包絡hupper（x1，x2）、下包絡hlower（x1，x2）和包絡均值mj-1（x1，x2）。

　　③hj（x1，x2）=hj-1（x1，x2）-mj-1（x1，x2）。

　　④計算終止條件SD：

　　其中，Maxmid為mi-1（x1，x2）的絕對值的最大值；Maxma為f（x1，x2）的絕對值的最大值。

　　⑤若SD小于給定閾值ε，則imfj（x1，x2）=hi-1（x1，x2）；否則令i=i+1，轉到步驟②。

　　（3）rj（x1，x2）=rj-1（x1，x2）-imfj（x1，x2）。

　　（4）得到BEMD分解表達：

2 BEMD域的新型HMT圖像去噪

　　首先對圖像進行BEMD變換，得到高頻子帶IMF和低頻子帶rn（x）。大量實驗結果表明，噪聲主要存在于分解的高頻子帶，而低頻子帶中幾乎不含有噪聲能量，所以接下來只對高頻子帶進行去噪處理。

　　2.1 計算變換系數的條件概率密度

　　含有加性高斯白噪聲的圖像經過變換后，其系數所含噪聲依然為加性。根據這一原理，可以使用卷積運算得到噪聲系數的條件概率密度[9-12]：

　　由于卷積計算非常困難，此處采用GSM方法表示式（3），其方差為zCX+CW，在隱乘子z下的條件概率密度為：

　　fY|Z（y|z）=N（y；0，zCX+CW）（4）

　　對fY|Z（y|z）進行積分運算：

　　2.2 計算系數尺度間平均圓錐比率概率密度

　　之前的HMT模型去噪算法基本上都是只考慮了系數尺度內的關系，忽略了尺度間的關系。系數尺度間比率（Average Cone Ratio，ACR）[10]能夠很好地描述圖像分解后每個尺度間系數的特性，結合鄰域間的關系，把它定義為：

　　其中，j表示尺度，l表示中心點位置，yj，m表示變換系數。子帶中每個點都有自己的圓錐比率，但是我們需要計算的是某個點的平均圓錐比率，這才是后面進行聯合概率密度計算時需要的。首先，求出子帶所有點的圓錐比率之和，然后除以系數的個數得到整個子帶的平均圓錐比率，最后點A的平均圓錐比率等于A點的圓錐比率除以整個子帶的平均圓錐比率。

　　2.3 新型HMT樹訓練

　　在2.1、2.2節中計算出了變換系數尺度內的條件概率密度|yl|以及變換系數尺度間對應位置的平均圓錐比率?茁，使用聯合概率密度函數[10]：

　　求出上述聯合概率密度之后，應用新型HMT模型對BEMD變換系數進行訓練，詳細步驟如下[12]：

　　（1）對每一個高頻子帶，估計它們的指數分布參數：?專={τ，CX}。

　　（2）計算條件概率密度fM|S（m|s=0）和fM|S（m|s=1）。

　　（3）為了加快訓練速度，采用如下狀態概率進行初始化：

　　（4）使用EM算法進行訓練，其中，E步：估計隱狀態變量的概率；M步：更新，最大化似然函數。

　　（5）一直遞歸運算，直到收斂。

　　2.4 使用貝葉斯規則進行去噪

　　隱狀態概率已經在HMT中被計算出來，所以可以使用收縮函數算法進行去噪：

　　通過式（8）對含噪圖像進行去噪，得到去噪后系數，應用BEMD逆變換得到去噪后圖像。

3 仿真實驗結果

　　為了檢驗本文算法的正確性和有效性，實驗中比較了ProbShrink去噪、BLS-GSM去噪、SUREbivariate去噪、Contourlet HMT去噪以及C-CHMM去噪，實驗結果如表1、圖1所示。

　　從表1中可以看出，與ProbShrink去噪、BLS-GSM去噪、SUREbivariate去噪相比，本文方法的PSNR值較高，尤其是Barbara圖像。與Contourlet HMT去噪、C-CHMM去噪相比，本文方法有0.5 dB~1 dB的提高。

　　同時為了從主觀上比較本文算法與以上HMT算法的去噪效果，給出了Lena圖像去噪主觀結果的比較。圖1中包含了去噪圖像的對比以及殘差圖像的對比。從圖1中可以看出，BEMD+新型HMT去噪后的圖像得到了適度的平滑，同時細節信息比較完整地保存了下來，視覺效果有明顯改善。綜上所述，本文方法更好地保存了原始圖像的細節特征，同時有效消除了噪聲，在圖像質量和PSNR值的表現上都有顯著的提升，視覺效果有明顯的改善。

　　本文算法性能突出，歸結為以下兩個原因：（1）新型HMT利用聯合概率密度對系數進行訓練，通過描述系數尺度內與尺度間的多種關系，可以較好地保存圖像的細小邊緣和紋理等信息，明顯地改善了圖像的視覺效果；（2）BEMD具有多尺度、多方向性，能夠有效捕捉圖像中的幾何特征及對圖像進行稀疏表示，為圖像去噪提供更多的有用信息，保留更多的細節信息。

4 總結

　　本文提出了一種基于BEMD域新型HMT的圖像去噪方法。首先在BEMD變換的基礎上利用HMT建立圖像模型，然后通過貝葉斯估計得到去噪后的圖像。實驗結果表明，該方法能很好地去除圖像中的高斯白噪聲，提取圖像的輪廓細節，提高去噪圖像的PSNR值。與其他的去噪方法相比，BEMD+新型HMT的去噪方法不僅在去噪性能指標而且在邊緣保持的主觀視覺上都表現出優異的性能。

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