摘  要： 在數(shù)字信號處理中，FFT運算具有非常重要的作用。傳統(tǒng)FFT算法具有原位計算的特點，原位FFT算法在自然序輸入時輸出呈逆序狀態(tài)，因此為了得到自然序的結(jié)果數(shù)據(jù)，就必須對全部FFT輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行整序。使用查找表整序是從FFT的逆序輸出結(jié)果中直接讀取自然序結(jié)果數(shù)據(jù)。試驗證明，在獲取全部FFT結(jié)果數(shù)據(jù)時，查找表整序相比傳統(tǒng)整序在時間效率上可以提高一倍，并且在連續(xù)FFT分析的情況下，優(yōu)勢會更明顯。

　　關(guān)鍵詞： FFT；逆序；整序；查找表

0 引言

　　在原位FFT運算過程中，當(dāng)輸入數(shù)據(jù)為自然序時，由于FFT算法過程對輸入數(shù)據(jù)的多次“奇偶抽取”，使得輸出數(shù)據(jù)呈逆序狀態(tài)，即輸出數(shù)據(jù)的索引和自然序索引的二進(jìn)制表示呈相互位逆序狀態(tài)[1]。因此必須對輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行整序，才能得到自然序的結(jié)果。即一次FFT分析包括FFT計算和對FFT逆序輸出的整序。FFT分析幾乎都在DSP處理器中完成，DSP處理器通過內(nèi)部CPU逐條執(zhí)行軟件指令來完成各種運算和邏輯功能[2]。因此，在DSP內(nèi)執(zhí)行一次FFT算法，必須順序執(zhí)行FFT計算和整序操作[3-5]。研究者為提升整序效率進(jìn)行了多種改進(jìn)，有的是對整序過程中的逆序數(shù)計算進(jìn)行了多種改進(jìn)，比如逆序數(shù)生成法[6-7]和分組數(shù)據(jù)交換法[8]，但這些改進(jìn)只關(guān)注了整序過程中的逆序數(shù)計算這一個方面；有的將逆序數(shù)計算與整序結(jié)合在一起，比如任意基的快速整序算法[9-10]，但這種方法理解起來很困難[11]。

　　在實際應(yīng)用中，所感興趣的目標(biāo)FFT數(shù)據(jù)，無論是全部FFT數(shù)據(jù)還是部分?jǐn)?shù)據(jù)，都可看作全部自然序的FFT結(jié)果中的一段，那么可以設(shè)法從FFT逆序輸出中直接獲取這一段目標(biāo)數(shù)據(jù)。即首先明確目標(biāo)數(shù)據(jù)段在整序后的FFT結(jié)果中的位置，計算這些位置索引值的逆序數(shù)并存儲在一個查找表中，然后根據(jù)此查找表就可以在FFT的逆序輸出數(shù)據(jù)中直接提取目標(biāo)數(shù)據(jù)。采用此算法將逆序數(shù)的計算從整序過程中剝離，簡化整序過程，提高整序效率。使用查找表整序的方式易于理解，操作簡單，并且在需要進(jìn)行連續(xù)FFT分析的情況下會體現(xiàn)出很大的優(yōu)勢。

1 FFT算法的原位計算的特點

　　圖1是8點的時域抽取基-2的原位FFT算法流程，輸入數(shù)據(jù)是自然序的，輸出數(shù)據(jù)為逆序狀態(tài)[4]。

　　對圖1中FFT的輸入數(shù)據(jù)和輸出數(shù)據(jù)的索引變化在表1中予以反映。

　　由表1可見，原位FFT的輸入數(shù)據(jù)為自然序，輸出數(shù)據(jù)為逆序，并且將自然序索引二進(jìn)制表示的比特排列順序完全逆過來，就得到逆序索引的二進(jìn)制表示[5]。因此為了得到自然序的FFT結(jié)果，就需要對FFT的逆序輸出結(jié)果進(jìn)行整序。傳統(tǒng)的整序算法是在原位FFT計算完畢后依自然序遍歷每一個輸出數(shù)據(jù)，先通過“比特倒序”運算計算自然序索引的逆序數(shù)，此逆序數(shù)就是輸出數(shù)據(jù)的正確索引值，再以逆序數(shù)為索引調(diào)整這個FFT數(shù)據(jù)的位置，最后得到全部自然序的FFT結(jié)果數(shù)據(jù)。在DSP內(nèi)只能使用高級語言編碼實現(xiàn)位逆序時，傳統(tǒng)做法是利用產(chǎn)生逆序數(shù)的十進(jìn)制運算規(guī)律，采用循環(huán)迭代計算逆序數(shù)[4-5]。

　　一次傳統(tǒng)的N點原位FFT分析需要計算N個索引值的逆序數(shù)才能得到全部的自然序結(jié)果，進(jìn)而才能獲取自然序結(jié)果中的某一段目標(biāo)FFT數(shù)據(jù)。對于需要連續(xù)進(jìn)行FFT分析的情況，無論是獲取全部FFT數(shù)據(jù)還是一段FFT數(shù)據(jù)，每一次N點FFT分析都需要重新計算一遍N個索引值的逆序數(shù)。對于重復(fù)計算，可以只計算一次，因此可以優(yōu)化FFT分析中的整序過程。

2 基于查找表整序算法

　　無論所需要的目標(biāo)數(shù)據(jù)是全部FFT結(jié)果還是部分FFT結(jié)果，都可以事先計算目標(biāo)數(shù)據(jù)在整個FFT結(jié)果中位置索引的逆序數(shù)，并將這些逆序數(shù)存儲在一個查找表中，然后根據(jù)此查找表在FFT逆序輸出數(shù)據(jù)中直接提取自然序的目標(biāo)數(shù)據(jù)。在需要對信號進(jìn)行連續(xù)FFT分析的環(huán)境中，查找表的計算可以在FFT分析前完成，并且只需計算一次。這種整序方式可以省去FFT分析過程中計算逆序數(shù)的時間，縮短單次FFT分析時間，提高單位時間內(nèi)的FFT分析次數(shù)，提高信號分析效率。

　　設(shè)N點原位FFT運算，對目標(biāo)數(shù)據(jù)在全部自然序的FFT結(jié)果中的位置索引進(jìn)行逆序操作，由于自然序和逆序索引的二進(jìn)制表示之間是比特倒置關(guān)系，于是需要將每個自然序索引值二進(jìn)制表示的最低位移向最高位，次低位移向次高位直到完成這個自然序索引值的位逆序過程。將一個索引值的位逆序函數(shù)設(shè)為BitReverse（intiSourceIndex，intiBitNum），其返回值為一個逆序數(shù)；所獲取的查找表設(shè)為IndexArray。位逆序的計算流程圖如圖2所示。

　　圖2中，iSourceIndex是待逆序的索引值，iBitNum是FFT計算點數(shù)的二進(jìn)制位數(shù)，iDesIndex是BitReverse（）函數(shù)返回的逆序數(shù)。構(gòu)造FFT結(jié)果的數(shù)據(jù)查找表的流程圖如圖3所示。

　　圖3中，iStart為目標(biāo)數(shù)據(jù)在整個FFT自然序結(jié)果中的起始位置，iDataLen為目標(biāo)數(shù)據(jù)的長度，由BitReverse（）函數(shù)的返回值iDesIndex構(gòu)成一個位置查找表IndexArray。于是，通過查找表從位置索引為iDesIndex的FFT逆序輸出中獲取自然序的目標(biāo)結(jié)果數(shù)據(jù)。相比于傳統(tǒng)的整序方式，使用查找表整序可以省去FFT分析過程中逆序數(shù)的計算過程。下面的試驗在FFT計算完畢后，統(tǒng)計了傳統(tǒng)整序和使用查找表整序所消耗的時鐘周期個數(shù)，進(jìn)而比較兩種整序方式的時間效率。

3 試驗

　　試驗環(huán)境是TI公司提供的高效C編譯器和集成開發(fā)環(huán)境Code Composer Studio，選擇C67xx CPU Cycle Accurate Simulator處理器。在獲得相同整序結(jié)果的前提下，比較傳統(tǒng)整序和使用查找表整序的耗時情況。試驗中，N點自然序數(shù)據(jù)作為FFT的輸入，目標(biāo)數(shù)據(jù)為全部FFT結(jié)果數(shù)據(jù)。在FFT計算完畢后，對FFT的逆序輸出數(shù)據(jù)采用不同的整序方式得到自然序結(jié)果數(shù)據(jù)，統(tǒng)計兩種整序方式所消耗的時鐘周期數(shù)，并通過對比時鐘周期數(shù)得到兩種整序過程在時間效率上的差別。

　　記錄N點FFT中傳統(tǒng)整序和查找表整序所消耗的時鐘周期個數(shù)，并計算后者與前者的百分比以觀察時間效率的改善情況。運行情況記錄如表2所示。

　　由表2可見，單獨就整序過程而言，使用查找表整序比傳統(tǒng)的整序在時間效率上可以提高一倍多。如果僅需要得到某一段FFT結(jié)果數(shù)據(jù)，傳統(tǒng)整序首先要對N點FFT的全部逆序輸出進(jìn)行整序，然后再截取目標(biāo)數(shù)據(jù)，而使用查找表整序則可以從FFT逆序輸出數(shù)據(jù)中直接獲取任意長度的目標(biāo)數(shù)據(jù)，并且目標(biāo)數(shù)據(jù)的長度越短，查找表長度越短，獲取目標(biāo)數(shù)據(jù)的時間效率就越高。

　　對于N點原位FFT運算，傳統(tǒng)整序需要計算N點索引的逆序數(shù)。使用查找表進(jìn)行整序，假設(shè)目標(biāo)數(shù)據(jù)長度為M（M≤N），則查找表內(nèi)索引個數(shù)為M，索引數(shù)據(jù)類型設(shè)為32 bit整型，那么所需分配的空間為M×32 bit。計算查找表時可以在FFT分析前進(jìn)行，這部分時間不占用FFT分析時間。對于單次FFT分析，增加M（M≤N）點數(shù)據(jù)空間可以為FFT計算節(jié)省N次逆序數(shù)的計算時間；對于連續(xù)FFT分析，不妨設(shè)連續(xù)分析n次，可以節(jié)省n×N次逆序數(shù)的計算時間。

4 結(jié)論

　　本文在充分理解原位FFT的計算特點后，在FFT分析前，對目標(biāo)數(shù)據(jù)在全部FFT結(jié)果中的位置索引計算逆序數(shù)，并將計算結(jié)果存儲為一個查找表，然后通過此查找表從FFT的逆序輸出中獲得自然序結(jié)果。試驗結(jié)果證明，相比于傳統(tǒng)的整序，使用查找表整序時間高效并且簡單實用，具有普遍的實用價值。比如，在軟件無線電領(lǐng)域，一般的無線電信號帶寬比較窄，頻率范圍比較寬，通常使用帶通采樣，因此對無線電信號進(jìn)行FFT計算時，只關(guān)心某一段結(jié)果數(shù)據(jù)；并且在需要對無線電信號進(jìn)行連續(xù)監(jiān)測的環(huán)境中，系統(tǒng)希望快速獲取每一次的FFT分析結(jié)果，在這種情況下，使用查找表整序處理FFT的逆序輸出就具有很大的優(yōu)勢。于是，使用查找表整序節(jié)省了FFT分析的整序時間，從而提高了FFT分析的時間效率。

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