早在1893年，美國科學家TESLA N利用無線電能傳輸原理，在沒有任何導線相連接的情況下點亮了磷光照明燈^[1]，這是人類在無線能量傳輸初期的重要嘗試，同時也為人類向無線能量傳輸方向的發展提供了借鑒意義。一個多世紀以來國內外的學者對該技術進行長期、大量的研究，在近距離和遠距離無線電能傳輸理論和應用層次上已經取得了很大的進展，但是在中等距離(傳輸距離一般為傳輸線圈直徑的幾倍)的傳輸范圍一直沒有突破性進展。直到2007年，MIT的SOLJACIC M教授領導的小組利用電磁諧振原理，成功地在實驗室實現了近場內電能的中距離無線傳輸^[2]。該技術的提出為中程距離無線電能傳輸技術的發展開辟了一個嶄新的方向。

        目前，諧振式無線能量傳輸已成為學術界和產業界共同關注的熱點。在實際應用中，隨著用電設備的種類和數量的增加，特別是移動電子產品的不斷增加，利用單一電源給多個負載進行無線充電具有廣闊的市場前景。參考文獻[3]研究了多個接收線圈的情況，但忽略了線圈間的電感交叉耦合影響。而多接收線圈的引入會帶來一些新的問題，如接收線圈之間的交叉耦合效應會擾動系統的工作狀態，結果不但使系統的分析和設計復雜化，還會影響系統在諧振頻率點處的傳輸效率與傳輸功率。因此有必要采取方法來補償交叉耦合的影響。

        為此，本文從單電源、雙負載無線充電系統的等效電路模型出發，詳細研究和分析了三諧振線圈系統的交叉耦合對各線圈電流和系統的傳輸功率、效率的影響。在此基礎上，提出了一種在回路中附加電抗來補償交叉耦合效應的方法，并通過仿真與實驗證明了這種補償的可行性和有效性。

1 理論分析

1.1 集總參數的等效電路模型

        圖1所示為兩個負載線圈的磁諧振耦合無線充電系統等效電路。R_S、R_L1、R_L2為電源等效內阻以及兩負載電阻，R₁、R₂、R₃是各回路的損耗電阻，包括線圈和電容上的耗散電阻；M₁₂、M₁₃、M₂₃分別為兩兩線圈之間的互感；L₁、L₂、L₃與C₁、C₂、C₃分別為源端和接收端的電感和調諧電容，并且滿足ω與驅動源的角頻率一致。

        根據基爾霍夫定律，可得描述電路的方程：

其中I=[I₁  I₂  I₃]^T，I₁、I₂、I₃分別為3個耦合線圈上的電流，V=[V_S  0  0]^T為電壓列向量。當系統發生諧振時，即系統工作在諧振頻率點ω₀時，滿足(n=1，2，3)。Z為電路的阻抗矩陣，如式(2)所示：

        分別為發射端、接收負載1和接收負載2端的電抗。電感耦合系數：

其中k₂₃是兩接收線圈間的交叉耦合系數。兩負載所獲得的平均傳輸功率定義為：

1.2 無交叉耦合時系統的最佳工作狀態

        為了控制兩接收線圈的功率分配比，除了可以調節兩接收線圈與發射線圈間的距離比之外，還能通過調整線圈間的負載阻抗比來完成。由參考文獻[4]可知，兩負載端在源端的等效阻抗分別為：

        當電源內阻抗和負載等效阻抗共軛匹配時，負載能獲得最大的傳輸功率，因此負載獲得最大功率的條件是：

1.3 交叉耦合的影響

        上文中忽略了交叉耦合效應，然而在實際的電路中，交叉耦合系數往往并不為零，而兩負載之間的交叉耦合有可能影響甚至惡化系統整體的傳輸性能。為方便分析，本文僅僅考慮收發線圈在同軸且兩負載線圈鏡像的情況。根據式(1)～式(5)，利用數值方法，給出了考慮交叉耦合和不考慮交叉耦合情況下系統的傳輸功率及傳輸效率數值解和三線圈各回路的電流矢量圖。計算中取R_L1=R_L2=R_S=50 Ω，R₁=R₂=R₂=1 Ω，f=4.6 MHz，將以上取值代入式(9)求得系統處于最佳工作狀態時的耦合系數為k₁₂=k₁₃=0.122，此時由諾依曼公式可以算出兩負載線圈之間的交叉耦合系數k₂₃約為0.1，并與k₂₃=0時系統的傳輸功率、傳輸效率以及三線圈電流矢量圖進行對比，如圖2和圖3所示。

        由圖2可知，若k₂₃=0，則系統的輸出功率和效率極值點均在諧振頻率點ω₀處；若k₂₃=0.1，則不僅會造成系統傳輸功率極值點產生漂移，還會導致系統在諧振頻率ω₀處傳輸功率和效率的降低。

        圖3中給出了k₂₃=0和k₂₃=0.1兩種情況下三線圈中的電流矢量圖。圖中空心圓圈、實心圓圈和箭頭分別代表ω/ω₀=0.92、1.08和1時的電流矢量。若不考慮交叉耦合效應，在諧振頻率ω₀處，發射線圈的電流與電源電壓同相，兩個接收線圈上的電流相位和幅值都相同，且比發射線圈滯后90°。若考慮交叉耦合效應，在諧振頻率ω₀處，發射線圈電流與電源電壓不再同相，兩負載線圈電流滯后發射線圈大于90°，且電流I₂、I₃幅值略有減小。

1.4 電抗補償原理

        為了克服交叉耦合對系統傳輸性能的不利影響，本文提出一種利用附加電抗來彌補交叉耦合效應的方法——電抗補償法。其原理如圖4所示，為補償非相鄰線圈的交叉耦合效應而附加的電抗元件(電感或電容)。

        在各回路串聯了補償電抗后，希望在諧振角頻率ω₀處，各回路電流的相位和幅值大小與忽略交叉耦合時一致。為此，分別寫出ω=ω₀并考慮交叉耦合且有補償電抗和忽略交叉耦合但無補償電抗時的電流回路方程，如式(10)、式(11)所示。因為兩系統工作在諧振頻率點ω₀時，均滿足(n=1，2，3),即有X₁=X₂=X₃=0。

        采用與1.3節相同的數據R_L1=R_L2=R_S=50 Ω，R₁=R₂=R₃=1 Ω，f=4.6 MHz，計算得到補償電抗29 Ω。用數值計算方法仿真以上兩系統補償前后的電流幅值圖，如圖5所示。

        圖5中，空心圓圈、實心圓圈和箭頭分別代表ω/ω₀=0.92、1.08和1時的電流矢量。可以看出，電抗補償后各回路的電流矢量圖與無交叉耦合時的電流矢量圖恰好完全重合，即補償前后三線圈電流的幅值大小相等、相位相同，表明回路中加入補償電抗后能徹底抵消交叉耦合帶來的影響，從而也說明了這種補償方法的理論可行性。

2 補償電抗的實現

        前面討論中使用的補償電抗是頻率無關器件，現實中可用電感或者電容來實現。雖然電感或電容的電抗值與頻率有關，但考慮到諧振式無線能量傳輸系統是窄帶工作的，因此影響不大。

        假設補償電抗(即分別用電感來補償系統)時，三回路的電抗部分均可以寫成如下形式：        

式(14)表示原來的回路電感應修正為，即給原有的線圈串聯一個電感量為的電感。對于磁諧振耦合無線能量傳輸系統，回路中補償電感的引入有可能會明顯擾動系統原有的磁場的分布，從而影響線圈原有的耦合狀態。為避免這一不利影響，本文采用電容補償方式。

        當采用電容補償時，根據式(15)，只需將原回路可調電容調整為即可達到目的。

3 數值仿真與實驗結果

        實驗中用到的測試平臺為EE1640C系列函數信號發生器和GDS-2202數字存儲示波器。實驗中用到的3個線圈都是由線徑1.5 mm的漆包銅線繞制5圈而成，線圈直徑16 cm,電感值約為10 μH,可調諧電容為120 pF，工作頻率為4.6 MHz，三線圈依次按照接收線圈1、發射線圈、接收線圈2的順序同軸等間距放置，相鄰線圈之間距離為5 cm，則兩負載線圈之間的距離為10 cm，由諾依曼公式可以算出此時交叉耦合系數約為0.1，函數信號發生器的輸出阻抗R_S=R_L1=R_L2=50 Ω。圖6為三線圈發生諧振時的雙負載電壓波形。

        從圖6中可以看出，兩個接收線圈的電壓基本一致，說明發射線圈傳輸到它們的功率是相同的，且試驗中發現，此時三線圈發生諧振，系統工作在最佳傳輸狀態，這也與式（7）的理論分析一致。

        實驗中采用電容補償，由式(13)求得三線圈的補償電容分別為則由式(15)可得出補償后三線圈的可調諧電容分別為120 pF、110 pF、110 pF，此時三線圈同軸等間距5 cm放置時的雙負載電壓波形如圖7所示。

        從圖7中可以看出，補償后兩負載電壓仍基本一樣，但是較未補償前電壓幅值有明顯提升，且實驗中發現，此時效率是最高的。三線圈空間位置不變，將系統的工作頻率分別調整為滿足ω/ω₀=0.8、0.85、0.9、0.95、1.0、1.05、1.1、1.15、1.2時，系統補償前后的傳輸功率、效率以及兩負載端的電壓幅值如表1所示。

        將以上實驗測量結果值在數值仿真解曲線圖中做出標注，如圖8所示。

        從圖8的數值仿真曲線中可以發現，電容補償后系統的傳輸功率、效率曲線與k₂₃=0時系統的傳輸功率、效率曲線完全重合。將實驗測量結果值（表1）在數值解曲線中標注后可以看出，實驗測量結果值在各測試點處與數值仿真解基本一致，而且實驗中發現，在諧振頻率點4.6 MHz左右處系統所獲得的傳輸功率、效率也達到最大值，兩負載端的傳輸功率最大為63 mW，此時傳輸效率達到96 %左右。因此，數值解和實驗測量值相比較的一致性充分說明本文所提出電抗補償方法的可行性和有效性。

        對于兩個負載的諧振耦合式無線能量傳輸系統，兩負載間的交叉耦合效應會對系統帶來一些不利的影響，具體表現在兩負載線圈的電流幅值明顯減小，電流相位發生偏離，系統的傳輸功率、效率明顯降低。通過在電路中附加電容補償的方法能有效地抵消交叉耦合效應帶來的影響。從仿真和實驗的結果來看，經電容補償后，無論是負載端電流幅值還是系統傳輸功率、效率都與無交叉耦合時幾乎相同，很好地補償了交叉耦合對系統傳輸性能的影響。本文分析和實驗中采用的是相同的收發線圈而且是同軸等間距放置的情況，不失一般性，這種方法對于多個不同尺寸的線圈以及不同的線圈空間位置都具有指導意義和借鑒價值。

參考文獻

[1] 趙爭鳴，張藝明，陳凱楠.磁耦合諧振式無線電能傳輸技術新進展[J].中國電機工程學報，2013，33(3)：1-13.

[2] SOLJACJC M，KURS A，KARALIS A，et al.Wireless power transfer via strongly coupled magnetic resonances[J].Science，2007，317(6)：83-85.

[3] KURS A，MOFFATT R，SOLJACIC M.Simultaneous midrange power transfer to multiple devices[J].Applied Physics Letters，2010，96(4)：044102.

[4] 劉好．基于WiTricity技術的無線功率傳輸的匹配電路方案設計[D]．南昌：南昌大學，2012.