摘 要： 將高斯混合尺度算法和方向小波分解相結合，建立了小波分解系數的鄰域模型，并基于該模型提出一種有效減少計算消耗的局部去噪方法。通過一系列模擬圖像去噪試驗，證明了此算法的有效性。
關鍵詞： 貝葉斯估計 高斯混合尺度 去噪 統計模型
圖像去噪在計算機視覺、模式識別等領域是十分重要的技術。常用的方法難以解決噪聲去除與邊緣模糊的矛盾。因此尋找一種既能有效去除噪聲又能較好地保留邊緣的圖像去噪方法一直是這一領域的熱門話題。小波變換是一種強有力的數學分析工具，近年來受到廣泛的關注，其應用已遍及信號和圖像分析的多個研究領域。小波變換能夠同時給出信號和圖像的時(空)域和頻域信息，因此，在小波變換域中進行降噪具有空間與頻率的雙重選擇性。本文基于高斯混合尺度建立了方向小波的方向塔式[1]分解系數鄰域模型，并研究了一種局部去噪方法——Bayes最小平方估計。
1 圖像統計模型及去噪
從隨機樣本觀測中注意到，單獨的圖像并非具有局部同態性，反應在帶通濾波器的邊緣響應特征上就是在原點具有尖峰，而衰減速度落后于高斯函數曲線。近年來，非高斯特性的圖像統計模型得到了發展。由于高斯混合尺度能最大逼近非高斯邊緣響應，加之完美的數學框架，使其成為各類圖像處理應用的首選。圖像邊緣響應與高斯混合尺度模擬如圖1所示。小波分解各子波帶中，系數隨尺度變化規律允許利用點的非線性特點去除噪聲（通常選用閥值法）。
圖像局部系數模值之間的相關性如同邊緣相關特性一樣，可以用隨機域空間變量建模。高斯向量與隱系數乘積的一個特例就是高斯混合尺度（Gaussian Scale Mixture，GSM）。本文假設局部變量由連續可變的系數控制，以捕捉圖像小波系數邊緣密度的峰值抖動，并推導出適用于GSM模型方法的最優最小平方一步Bayes估計。
2 圖像概率模型
2.1 高斯混合尺度
2.2 小波系數的GSM模型
GSM模型既可描述小波系數邊緣的形狀又可描述鄰系數模值間的相關性。為了從局部描述建立圖像的全局模型，必須明確系數的鄰域結構和權系數的分布。將系數分劃到不相重疊的鄰域，并確定權系數（看作獨立變量）的邊緣模型或者通過權系數全集來確定聯合密度，雖然這樣可以簡化全局模型的定義，但正交鄰域的引入將導致鄰域邊界不連續點的去噪問題。
一種解決方法就是將GSM作為塔中以每個系數為中心的系數簇的局部行為描述。由于鄰域相互重疊，每個系數都同屬于多個鄰域。這種局部模型暗含著定義了全局Markov模型，由給定了鄰域的各簇中的系數條件概率密度來描述，并假設條件獨立于其他系數。但最后的模型結構要求的精確統計推理（計算Bayes估計）對計算提出挑戰。因此簡化了鄰域中心參考系數的估計問題。
2.3 權系數先驗概率密度
要完成該模型，還需要確定權系數的概率密度pz(z)。本文中應用無信息先驗方法。此方法的優點是它無需調節任何參數就可適應含噪的情況，曾用于圖像去噪中建立邊緣先驗。其中最廣泛使用的是Jeffery先驗。 從系數X估計權系數z，應用下面的形式：
3 圖像去噪
圖像去噪過程：首先，分解圖像到不同尺度、方向的塔式子波帶；然后，對各子波帶（除低通殘余帶外）分別去噪；最后，通過塔式反變換，得到去噪圖像。假設圖像被已知方差的獨立加性高斯白噪聲所侵蝕（此方法同樣適用于已知協方差的非高斯白噪聲)，向量Y對應于塔式表達的由N個觀測系數組成的鄰域，則：
到塔式子波帶獲得，(Ny，Nx)為圖像的維數，此δ信號與噪聲信號具有相同的能量譜，但不受隨機擾動的影響。Cw的元素可直接計算作為樣本協方差(例如，通過對子波帶的所有鄰域成對系數的乘積取平均)。此過程很容易推廣到非白噪聲，只須換δ函數為噪聲能量譜密度平方根的Fourier反變換。
給定Cw，信號協方差Cu就可以從觀測協方差Cy計算得到。通過z的期望值則可以從CY/z得到Cy=E{z}Cu+Cw 。
令E{z}=1，則：
Cu=Cy-Cw (6)
通過特征向量分解并令所有可能為負的特征值為零，保證Cu半正定。
3.1 Bayes最小平方估計
對于每個鄰域，希望從觀測系數列Y估計得到鄰域的中心參考系數xc，而Bayes最小平方估計(BLS)正是條件平均(如式(7))。假設函數惟一收斂，則可以交換積分次序。這樣，此方法即是計算x在條件z下，以后驗密度p(z/Y)為權重的Bayes最小平方估計的均值。下面逐個討論其組成元素。
3.2 局部維納估計
GSM模型的關鍵優勢在于條件z下系數鄰域向量X為高斯形，且假設為加性高斯噪聲，此時8鄰域的期望值(3×3模塊）簡化為線性維納估計。
3.3 權系數的后驗分布
方法中(7)式的另一元素是以觀測鄰域值為條件的權系數分布，應用Bayes規則得：
對函數pz(z)選用無信息Jeffery先驗，在原點得到修正。條件概密p(Y/z)由(5)式給出，并通過(9)式和V的定義簡化得：
去噪過程如下。
(1)分解圖像到子波帶。
(2)對于每個子波帶（除低通殘余波帶）：
①從圖像域噪聲協方差計算鄰域噪聲協方差Cw。
②估計含噪鄰域協方差Cy。
③根據(6)式，利用Cy和Cw估計Cu。
④計算∧和M。
⑤對于每一鄰域：(a)在鄰域內對于每個z值：根據(11)式計算E{xc/Y，z}；根據(13)式計算p(Y/z)。(b)根據(12)和(3)式計算p(z/Y)。(c)根據(7)式計算E{xc/Y}的數值。
(3)利用經過去噪處理的子波帶和低通殘余子波帶重建去噪圖像。
4 應用結果
應用方向塔式變換將圖像分解至各子波帶(文中使用4個方向、5個尺度的方向帶通子波帶，1個高通和1個低通殘余子波帶)。試驗了鄰域結構(如空間位置、尺度和方向的選擇)，平均來說參考系數周圍的3×3區域結構可取得較好的結果。對z，在其log函數空間（試驗中使用區間[log(zmin)=-20.5，log(zmax=3.5)]）均勻采樣，這樣對于相同精度要求只須較少的采樣點(與線性采樣相比)，且z的Jeffery先驗在log域中為常數。在256灰度圖像（被計算機模擬的5個不同方差的高斯噪聲所污染）上測試該模型，得到的圖像去噪實驗結果表如表1所示。表中，PSNR＝20log10(255/σe)，為峰值信噪比，單位dB；σe為誤差標準偏差。
將此方法與2種廣泛應用的去噪方法比較：與維納濾波法去噪結果的對比圖如圖2所示。與Db8小波域低頻濾波法去噪結果對比圖如圖3所示。從對比結果可以看到本文所采用的方法充分保留了原始圖像的特征,去噪效果明顯優于其他2種方法。
5 結 論
本文討論了一種基于全局緊框架的方向塔式表達中的局部高斯混合尺度模型。在許多方面該統計模型不同于先前的模型。(1)原來的模型或基于可分正交小波或基于此類小波的冗余形式，而本方法基于全局緊框架且可包含斜角方向可選的基函數。此表達形式增加了冗余，同時提高了方向的辨識能力從而增強了去噪能力。(2)模型暗含了相鄰系數間聯合變量而不只是考慮邊緣響應或局部變量。處理結果證明了此方法的去噪能力，但此方法也有一定的局限性，還需深入研究。
參考文獻
1 Zhuang X H，Huang Y.Gaussian Mixture Density Modeling，Decomposition and Application.IEEE Transactions on Image Processing，1996；5（9）
2 Simoncelli E P，Freeman W T.The Steerable Pyramid：A Flexible Architecture for Multiscale Derivative Computation.In：IEEE Second International Conference on Image Processing，Washington，DC，USA，1995
3 Belge M，Kilmer M E，Moller E L.Walelet Domain Image Restoration with Adaptive Edge-preserving Regularization. IEEE Transactions on Image Processing，2000；9（4）
4 Wai H P，Jeffs B D.Adaptive Image Restoration Using a Generalized Gaussian Model for Unknown Noise.IEEE Transaction on Image Processinhg，1995；4（10）
5 Mallat S著，楊力華譯.信號處理的小波導引.北京：機械工業出版社，2002
6 陳逢時.子波變換理論及其在信號處理中的應用.北京：國防工業出版社，1998