摘 要： 提出了一種用Surfer軟件提供的可編程方法對(duì)散點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行網(wǎng)格化，再用矩形追蹤法追蹤等值線的新方法。利用新方法繪制出的等值線既具有高精度性和實(shí)用性，又具有可維護(hù)性，這也表明該方法是一個(gè)實(shí)用、有效的等值線繪制方法。
關(guān)鍵詞： Surfer；等值線；離散數(shù)據(jù)網(wǎng)格化；矩形追蹤
等值線圖是在石油勘探開(kāi)發(fā)、采礦、地質(zhì)、地球物理、地球化學(xué)和氣象等工程和技術(shù)領(lǐng)域內(nèi)應(yīng)用極廣的一種圖形，是眾多領(lǐng)域成果表示的重要圖件之一。在等值線繪制過(guò)程中，首先要對(duì)散點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行網(wǎng)格化，而常用的數(shù)據(jù)網(wǎng)格化方法（如距離加權(quán)法、方位法、趨勢(shì)面法、加權(quán)最小二乘法、疊加法）的精度和有效性都不高；Kriging估值技術(shù)雖然比傳統(tǒng)的估值技術(shù)具有更高的先進(jìn)性和有效性，但這種方法目前還沒(méi)有得到廣泛應(yīng)用，許多細(xì)節(jié)問(wèn)題還處于研究階段。本文介紹利用Surfer軟件提供的可編程方法對(duì)散點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行網(wǎng)格化，然后用矩形追蹤法對(duì)網(wǎng)格化后的數(shù)據(jù)進(jìn)行追蹤，并實(shí)現(xiàn)了放大、縮小、漫游、光滑等功能，繪制出的等值線具有更強(qiáng)的實(shí)用性。
1 繪制等值線圖原理
1.1 離散數(shù)據(jù)網(wǎng)格化
為了繪制等值線圖，首先需要把離散分布的數(shù)據(jù)點(diǎn)網(wǎng)格化。為此，要建立數(shù)字高程模型（DEM），其主要功能就是將離散數(shù)據(jù)網(wǎng)格化。其主要步驟為：首先，由原始數(shù)據(jù)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的最小值和最大值構(gòu)成矩形網(wǎng)格的邊界；然后，根據(jù)用戶需要將矩形再劃分為m×n個(gè)小矩形，即形成矩形網(wǎng)格；最后，用插值算法得到每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)的高程值。
DEM內(nèi)插有多種算法，常用的有距離加權(quán)法、樣條函數(shù)內(nèi)插、最小二乘配置法和Kriging方法等。本文使用Suffer軟件中提供的可編程方法對(duì)散點(diǎn)數(shù)據(jù)網(wǎng)格化，其具體算法如下。
（1）輸入?yún)?shù)；
（2）根據(jù)輸入?yún)?shù)從數(shù)據(jù)庫(kù)提取X、Y坐標(biāo)及高程值Z，并保存到文本數(shù)據(jù)文件；
（3）在程序中引用surfer并創(chuàng)建surfer（srf）和grid（grd）對(duì)象；
（4）用srf對(duì)象的GridData方法將文本文件轉(zhuǎn)換成surfer格式文件（.grd文件）；
（5）用grd對(duì)象的GetNode方法獲取grd文件里生成的網(wǎng)格點(diǎn)高程值，寫(xiě)入網(wǎng)格化后的數(shù)據(jù)文件。
1.2 等值點(diǎn)的計(jì)算
令任意一個(gè)網(wǎng)格邊兩端的數(shù)據(jù)值分別為Z1、Z2，如圖1所示，對(duì)于任意一條等值線W，它在該邊上Z（x，y）-W=0，即等值線所通過(guò)的點(diǎn)，可以有0~3個(gè)根。
當(dāng)?shù)戎稻€恰好等于網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的值時(shí)，這種網(wǎng)格點(diǎn)被稱作退化點(diǎn)，當(dāng)遇到退化點(diǎn)時(shí)，在網(wǎng)格點(diǎn)值上加上一個(gè)非常小的正數(shù)，以消除退化點(diǎn)[3]。
如圖1中的Z1、Z2值都不會(huì)等于等值線W的值，這時(shí)，網(wǎng)格邊上對(duì)于某一條等值線W，存在根Z（x，y）-W=0的可能性有：
（1）Z1>W，Z2>W或Z1<W，Z2<W時(shí)，沒(méi)有根，如圖1中的（a）和（b），或存在兩個(gè)根，如圖1的（e）和（f）。
（2）Z1<W，Z2>W或Z1>W，Z2<W時(shí)，存在一個(gè)根，如圖1中的（c），或存在兩個(gè)根，如圖1中的（d），其中A根是重根，如圖1中的（g）。
對(duì)于立方函數(shù)，利用數(shù)值法求根。這時(shí)可以將網(wǎng)格邊長(zhǎng)nx和ny再分成等間距的細(xì)分段，如圖1中的（d）所示，然后求出每個(gè)細(xì)分段兩端的函數(shù)值Zk和Zk+1。當(dāng)Zk或Zk+1等于等值線值W時(shí)，同樣需要加上一個(gè)非常小的正數(shù)，以消除退化點(diǎn)。這樣，當(dāng)（Zk-W）（Zk+1-W）<0時(shí)，說(shuō)明該細(xì)分段上存在一個(gè)根。該細(xì)分段的長(zhǎng)度可以小到以機(jī)器步長(zhǎng)來(lái)計(jì)算，最小可以到描繪儀機(jī)器步長(zhǎng)的2倍，這樣可以保證在曲面函數(shù)上追蹤所得到的等值線連續(xù)光滑而不會(huì)發(fā)生方向上的突變。在找到根值的細(xì)分段上，再以Zk和Zk+1作線性內(nèi)插求得所在根及等值點(diǎn)的位置。
數(shù)值法找根時(shí)有時(shí)會(huì)失根，尤其對(duì)于重根情況，如圖1（d）中的A根，由于它兩端的Zk和Zk+1都小于W，因此（Zk-W）（Zk+1-W）>0，A根就會(huì)失去，但這對(duì)于繪制等值線并無(wú)多大妨礙，至多漏繪一些極小的封閉等值線或等值線應(yīng)該封閉而不完全封閉。
1.3 等值線的追蹤
把網(wǎng)格縱邊和橫邊的細(xì)分段所組成的小網(wǎng)格稱為單元，它們的4個(gè)節(jié)點(diǎn)稱為單元節(jié)點(diǎn)，以區(qū)別于原始的網(wǎng)格與網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)。這樣，對(duì)于每一個(gè)單元在其單元節(jié)點(diǎn)上求出函數(shù)值后（若遇到有退化點(diǎn)時(shí)，同樣需要通過(guò)加一個(gè)很小的正數(shù)來(lái)處理），有圖2所示的8種連接等值線的可能（其中+號(hào)表示節(jié)點(diǎn)值大于等值線值，-號(hào)表示節(jié)點(diǎn)值小于等值線值）。
（1）單元節(jié)點(diǎn)上函數(shù)值同時(shí)大于或同時(shí)小于等值線值時(shí)，該單元內(nèi)沒(méi)有等值線通過(guò)，如圖2（a）所示。
（2）單元節(jié)點(diǎn)上函數(shù)值大于和小于等值線時(shí)，單元邊上要么存在兩個(gè)根，要么存在4個(gè)根。存在兩個(gè)根時(shí)，兩根在對(duì)邊上，如圖2（b）、圖2（c）所示，兩根在鄰邊上，如圖2（d）、圖2（e）、圖2（g）、圖2（h）所示；存在4個(gè)根時(shí)，4個(gè)根分別在單元的4個(gè)邊上。對(duì)于兩個(gè)根的情況，只要找到根的位置就可以相連；對(duì)于4個(gè)根的情況，則需規(guī)定底邊根與左邊根相連，右邊根與上邊根相連或底邊根與右邊根相連，右邊根與上邊根相連，如圖2（f）所示，這樣就能保證等值線間不會(huì)出現(xiàn)相交現(xiàn)象[4]。
圖3表示在一個(gè)矩形網(wǎng)格（i，j）內(nèi)，將縱邊ny等分成6個(gè)細(xì)分段，將橫邊nx等分成5個(gè)細(xì)分段的連法示意圖。在等分后的每個(gè)單元節(jié)點(diǎn)上算出函數(shù)值Z。Z>W（W為等值線值）時(shí)，以“+”表示；Z<W時(shí)，以“-”表示。這樣在每個(gè)“+”、“-”節(jié)點(diǎn)之間必定存在一個(gè)等值線根，可用線性內(nèi)插求出它的位置，連成的等值線如圖3中的折線所示。由于網(wǎng)格邊上的函數(shù)是立方函數(shù)，它在網(wǎng)格邊上最多有3個(gè)根，如圖3中，底邊上有3個(gè)根A1、A2、A3。在理論上只要對(duì)全部網(wǎng)格內(nèi)的單元節(jié)點(diǎn)掃描一遍，把求得的根值用圖2中的規(guī)則相連即可畫(huà)出等值線圖。
但是這樣計(jì)算會(huì)花費(fèi)計(jì)算機(jī)大量時(shí)間，而且大部分單元內(nèi)是不會(huì)有等值線通過(guò)的。因此，需要設(shè)計(jì)一種總等值線的方法，使得只在等值線會(huì)通過(guò)的單元節(jié)點(diǎn)上才求出函數(shù)值，而大部分不通過(guò)等值線的單元不必求節(jié)點(diǎn)函數(shù)值，以節(jié)省機(jī)器運(yùn)算時(shí)間、加快速度。這里還需指出，圖3是一個(gè)復(fù)雜化的例子，實(shí)際上，對(duì)于特定的等值線，一個(gè)網(wǎng)格內(nèi)的等值線可能是很少的，或者只有一條或少數(shù)幾條，還有很多網(wǎng)格根本就沒(méi)有。此外，當(dāng)分段加密時(shí)，等值線將逐漸變成光滑曲線，這是因?yàn)閿M合網(wǎng)格點(diǎn)的函數(shù)是一個(gè)連續(xù)光滑的函數(shù)。因此，利用上述方法，就不需要對(duì)等值線再作光滑處理。
將等值線分為從邊界出發(fā)到邊界結(jié)束的等值線以及在內(nèi)部封閉的等值線兩種類型，如圖4所示。無(wú)論哪種類型的等值線，都必須已知有順序相鄰的A1、A2兩個(gè)等值點(diǎn)。設(shè)它們的坐標(biāo)值分別為（a1x，a1y）及（a2x，a2y），分別以nx和ny為單位長(zhǎng)度，其坐標(biāo)的整數(shù)值為（a1j，a1i）及（a2j，a2i）。任意設(shè)兩個(gè)相鄰的單元如圖5中的單元Ⅰ、Ⅱ所示，A2落在單元Ⅰ和Ⅱ的鄰邊上，A1落在單元Ⅰ的其他三邊的任意一邊上。用（i，j）表示單元Ⅰ的序號(hào)，用（i+1，j）、（i，j+1）、（i-1，j）、（i，j-1）表示單元Ⅱ的序號(hào)，分別相當(dāng)于圖5中的（a）、（b）、（c）、（d）4種情況，則下一等值點(diǎn)追蹤方向依次由下述4個(gè)判別式確定。
網(wǎng)格追蹤程序主要封裝在CContourTrace類中。
利用本文方法所生成的等值線如圖6所示。
本文是提出了一種新的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)等值線的繪制，它首先用成熟軟件Surfer將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行網(wǎng)格化，再利用矩形網(wǎng)格追蹤法追蹤網(wǎng)格，并按照實(shí)際需求實(shí)現(xiàn)了對(duì)等值線的縮放、平移、光滑和標(biāo)注等功能。利用本方法所繪制的等值線主要在石油勘探開(kāi)發(fā)、采礦等領(lǐng)域得到應(yīng)用。使用本方法所繪制的等值圖較其他方法效果更好、精確度更高、速度更快，是一個(gè)實(shí)用有效的等值線繪制方法。
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