動彈性模量(Dynamic Young's Modulus)是建筑工程設計中混凝土等剛性材料的力學性能的一個重要參數,反映了某段時間內材料在外力作用下的細微形變,因此動彈性模量的測量在建筑工程的質量監控與評估中有著重要的意義。混凝土的彈性模量是頻率的單值函數,該函數的關鍵變量是混凝土試件的共振頻率,即由試件的諧振頻率,可推算出其強度來。由此,混凝土的強度測量可以簡化為先進行動彈諧振頻率測量,再計算動彈性模量的過程[1]。
    當前剛性材料的動彈性模量測量方法有掃頻法、快速傅里葉變換法(FFT)等。在掃頻法中,先由激振器從低頻到高頻依次發射振動波到待測試件表面,迫使其產生非平穩、瞬態的反饋振動波形,通過不同頻率間反饋波形幅值的比較,掃描出諧振頻率點。而FFT法是在數字電路快速發展的背景下,由數字處理器對反饋波形進行快速離散傅里葉變換,計算出功率譜中的峰值頻率作為諧振頻率。在FFT算法中,消除了掃頻法中激振器在不同頻率下激振波振幅的誤差影響。而FFT算法在有限的采樣點下,其低頻精度較低(頻譜范圍為20 kHz時,誤差在±20 Hz以上)。為此,本文將小波變換中的多分辨分析方法引入到動彈性模量的測量中來,可在現有傳感器硬件電路基礎上,通過在DSP平臺上的Mallat算法實現高精度的頻譜計算,提高諧振頻率測量精度,消除因傳感器不一致所導致的誤差影響,從而提高動彈性模量測量的準確度。
1 Mallat算法的頻譜分析原理
1.1 Mallat算法原理及分解過程
    Mallat算法是小波信號處理中最常用的小波快速算法。連續小波變換是指：把某一被稱為基本小波(亦稱母小波或基波)的函數Ψ(t)作位移τ后,在不同尺度α下再與待分析信號x(t)作內積[2]。
    
    Mallat算法主要是用基于多分辨分析的多采樣濾波器組來分解信號,可以把信號分解為離散平滑分量和離散細節分量。這些離散分量間的關系可用濾波器組的形式表現。Mallat算法的小波分解公式：


上式中，Edt為橫向動彈性模量,單位為Pa；G是試件質量,單位為kg；fmax是在外力作用下試件諧振時的峰值頻率；l、b、h分別對應試件的長、寬和高,單位為mm；R是取決于試件邊長及泊松比的修正系數,對于l/h=4、泊松比大約為1/6的混凝土試件,R取1.5。在混凝土等硬質材料的動彈性模量的測量中,當溫度與濕度等外界環境因素穩定時，式(8)中其他變量的測量誤差較小，難點是非平穩狀態的測試波形的頻譜計算。每個試件因為結構的差異及縫隙的存在,其共振頻率都有若干個,稱其為共振頻率帶,在力學測量中,建筑力學設計中的動彈性模量測試只研究其低頻段(≤20 kHz)內的共振頻率。
    測量過程硬件框圖如圖2所示,激振器由密封在鋼制圓柱體內腔的大功率動圈揚聲器構成,垂直安裝在揚聲器錐盆上的鋁制測桿伸出腔外3 mm。拾振器構造與激振器類似,但揚聲器由靈敏度較高的壓電陶瓷片替換。在測量前,首先將激振器正對混凝土試件側面的中心位置,拾振器則放置在試件同一面的側邊沿,保持激振器和拾振器的測桿都輕輕地接觸在混凝土試件表面上(測桿與試件的接觸面涂抹一薄層耦合介質)。

　測量過程中,首先由DSP調制出PWM信號,通過可編程運放(PGA)調整波形幅度后,再經功放電路功率放大后連接到激振器的正負極。激振器的測桿將激勵信號施加到混凝土試件中間點, 試件在外力作用下振動。由于壓電效應,拾振器中的壓電陶瓷片將試件因受迫振動而產生的機械波轉換為電壓信號(Vp-p<1 mV),該非平穩電壓信號經低通濾波器濾除高頻干擾后送至由LM833構成的單端運放電路放大1 000倍,其濾波放大電路如圖3所示。

    放大的電壓信號接入DSP的ADCINA0管腳,DSP以固定的采樣頻率對該電壓信號進行模數轉換,所得的數組x(n)作為Mallat算法的原始處理數據源(每次算法的采樣點數N=1 024)。當激勵源的激勵頻率接近于試件的固有頻率時,產生共振效應,試件強迫振動的振幅及功率達到最大,通過算法計算出的峰值頻率fmax作為試件的共振頻率。
3 Mallat算法測量諧振頻率過程分析
3.1 DSP中Mallat算法的程序設計方法
    在動彈性模量測量中, Mallat算法是基于TMS320F2808型32位定點數字信號處理器(DSP)平臺實現的。基于哈佛總線結構的F2808型DSP最高運算速度為100 MIPS,其內置的12位ADC模塊最小轉換時間為160 ns。針對剛性材料的共振頻率低頻段分布的特點,由Nyquist抽樣定理可知模數轉換單元的最小采樣頻率為40 kHz,但為了減小能量泄漏及幅值失真,采樣頻率fs設定為采樣點數N的整數倍,即fs=40.96 kHz。
    程序中設置16位的ePWM模塊作為激振器的信號源：首先將來自系統的時鐘信號通過PLL (鎖相環)預分頻到10 kHz,修改周期寄存器TyPR以改變輸出PWM方波的頻率。
    在DSP程序設計中,為了提高系統運算效率,Mallat算法操作通過C語言嵌套匯編語言實現:在C函數的框架中,匯編語句通過動態參數傳遞的形式進行調用,并且對相應C語句進行優化,以減少函數的調用次數。DSP中,當RPT流水線啟動后,通過循環尋址指令間接地在RAM空間構造的循環緩存區中調用采樣序列x(n),DSP可在單指令周期內通過硬件乘法器實現快速乘加操作,以便迅速完成卷積、濾波等小波運算。

4 試驗分析及結果
　　為驗證測試系統中算法的精確度,在試驗電路中：DSP的PWM周期定時器設定值FT從50 Hz~1 kHz范圍內以0.25 Hz/ms增加,當FT達到1 kHz后，以1 Hz/ms增加到5 kHz為止；為了減小激振器中電磁線圈的溫漂,將PWM的脈寬調制為0.3,激振器輸出平均功率PT=5 W；功率譜計算時間平均為3.2 ms；圖5是標準試件頻譜圖的打印輸出結果。
    由圖5可知,峰值頻率fmax=1.502 kHz,即該試件的諧振頻率為1.502 kHz,符合一般情況下混凝土的諧振頻率分布。對于l=400 mm、b=h=100 mm的標準試件,當其質量G=10.0 kg時,由式(8)計算出動彈性模量Edt為20.90 GPa。

　由于通常制備的混凝土試件的共振頻率分布不均勻且難以預測[7]。試驗中,為了測試系統的計量準確度,使用了函數信號發生器來模擬激振波形：信號源輸出不同中心頻率下峰值為0.5 mV的sinx/x周期函數波形,利用DSP硬件平臺測試FFT算法與Mallat算法在同樣采樣點數下的諧振頻率測量的相對誤差,結果如表1所示。
    由表1可知,測試平臺在20 kHz量程時,FFT算法的低頻段相對誤差較大,在高頻段與Mallat算法相同,而Mallat算法測量頻譜的相對誤差始終小于0.3%。所以,兩種算法相對于量程的精度相同,而由于Mallat算法的多尺度分析等特點,其在低頻段內諧振頻率測量值的可信度更高,相對于常規FFT算法有效提高了動彈性模量的測量精度。

　本文通過在DSP平臺上實現Mallat算法,運用離散小波變換的多分辨率分析方法對非平穩的諧振波形進行頻譜分析。利用其多尺度測量由粗至細提取出激振信號的局部頻域特征,再通過小波改進算法去除頻率混淆,可快速準確地掃描出其中的功率峰值點以作混凝土等剛性材料的動彈性模量計算。
　通過Mallat算法的多分辨率分析方法,保證了測試系統在20 kHz量程內相對誤差小于0.3%,重復性誤差小于0.5%,滿足了建筑工程設計中混凝土動彈性模量測量的精度需求。在利用Mallat算法研究聲信號頻譜的基礎上,可通過超聲波定位精度高、穿透能力強等特點來進行混凝土結構件的探傷定位等無損檢測研究。
參考文獻
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