??? 摘 要：根據二元樹復小波理論和圖像插值的特點，將二元樹復小波變換與基于邊緣插值方法相結合，得到一個放大的插值圖像，然后將插值后的圖像進行一級小波分解，將分解后的高頻子帶再做小波變換，并修正變換后的高頻子帶系數，進行圖像重構后得到最終的插值圖像。實驗結果表明，該方法能夠提高圖像的分辨率，同時消除邊緣處的 “振鈴” 效應。
??? 關鍵詞：二元樹復小波；邊緣插值；超分辨率；小波重構
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??? 很多成像系統由于一些固有的內在和外在條件限制，獲取的圖像往往不能達到人們實際的需求。從硬件方面改進又需要高昂的費用，所以解決這一問題的有效途徑是從軟件方面入手來提高圖像的分辨率。而插值技術作為一種簡單的圖像處理方法具有十分重要的實用價值。傳統的插值方法主要有：最近鄰域插值方法(zero-order-hold)、雙線性方法(bilinear)和雙3次插值方法(bicubic)。這些插值方法只利用了鄰近像素的灰度值進行計算。其優點是方法簡單，計算量小。不足之處就是誤差較大，不能完全恢復圖像丟失的高頻信息，致使在處理圖像邊緣細節及紋理時不夠理想，有時會出現方塊效應或邊緣退化現象[1-2]。
??? 新出現的一些算法，如LiXin的基于邊緣的插值算法[3]，得到的放大圖像在邊緣處理的效果上比傳統的插值算法要好些。
??? 小波變換具有多分辨率分析特點和逐漸局部細化等性質, 因此，圖像經小波變換分解后進行處理比直接對圖像進行處理要更加有效[4-5]，同時,小波變換的多尺度分解特性更加符合人類的視覺機制。二維實離散小波變換雖然具有以上優點，但其缺點是缺乏平移不變性導致了振鈴現象和可選方向較少。而本文采用的二元樹復小波技術[6]能較好地彌補以上不足。
??? 基于保證插值結果的精確性和算法簡明性的考慮,本文算法將LiXin的基于邊緣的插值算法[1]與二元樹復小波變換相結合對圖像進行了超分辨率處理。
1 二元樹復小波變換
??? 二元樹離散復小波變換不僅保持了傳統小波變換良好的時頻局部化的分析能力,還具有良好的方向分析性, 能夠反映出圖像在不同分辨率上沿多個方向的變化情況,更好地描述圖像的方向屬性。圖1為一維信號的二元樹復小波變換示意圖，它實質上相當于采用2棵并行的實DWT小波樹，將一棵樹(a樹)的輸出作為復小波輸出的實部，另一棵樹(b樹)作為虛部。在第一層的變換上，b樹中的濾波器與a樹中的對應濾波器間有一個樣本的位移，在第一層后，各層上都取偶數長的濾波器，保證b樹在下采樣時始終能取到a樹在下采樣時舍棄掉的采樣值，使總輸出是輸入的二倍冗余，以實現近似位移不變。一個二維二元樹復小波變換可以區分頻域空間的各個不同部分，將產生6個方向(±15°、±45°、±75°)的復系數帶通子圖。為了獲取指向這些方向的沖激響應，應將a樹和b樹的尺度函數的輸出系數(即低通濾波器的輸出)看作是一個復數對，而把2棵樹的小波函數的輸出(即高通濾波器的輸出)看作來自于另一復數對。
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2? 基于二元樹復小波變換的邊緣插值方法
2.1基于邊緣插值方法
??? 假設低分辨率圖像為Xi,j，大小為H×W。對應的高分辨率圖像為Yi,j，大小為aM×aN，其中a是整形放大因子。不失一般性，只考慮a=2時，有Y2i,2j=Xi,j。從Y2i,2j=Xi,j插值出Y2i+1,2j+1。
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??? 這里插值是在對角方向上的4個最近鄰域進行。對自然圖像的一個合理假設是它能夠被模型化為一個局部平穩高斯過程。根據經典維納濾波理論，最優最小均方誤差線性插值系數為：
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式(2)中，R、Y是在高分辨率下的局部協方差。
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式中，M是局部窗的大小，
是局部窗內的點，C是沿著對角方向的4個最近鄰域。根據(2)式和(3)式，則有：
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將(4)式代入(1)式可得到Y2i+1,2j+1。
2.2基于二元樹復小波變換的邊緣插值方法
??? 方法描述如下：圖像f (x,y)經過一次二元樹復小波分解后，實部和虛部都被分解為6個高頻子帶和2個低頻子帶。求出實部6個高頻子帶的系數并用邊緣插值方法對其插值放大。同樣對虛部6個高頻子帶進行處理，得到插值后的各虛部的高頻子帶系數。由于低頻信息集中了圖像的絕大部分能量，而雙3次插值方法能夠提高圖像的整體清晰度。因此，對于低頻系數，本文采用了雙3次插值。各系數插值完成后對插值后的系數進行二元樹復小波逆變換。
3? 邊緣處理
??? 經過以上過程處理后的圖像雖然得到了較好的插值效果，但圖像邊緣處還是比較模糊。由于高頻信息對應圖像的邊緣信息，所以通過改變圖像的高頻信息，重構后將改變原圖像的邊緣特征，因此改變不同層次的高頻子帶信息，可以提高圖像邊緣處的對比度。依據這個原則，這里用一種基于小波變換的方法將插值后的圖像進行進一步處理，以得到更好的邊緣效果。方法描述如下：
??? 如圖2所示，對用以上方法得到的插值圖像做小波分解，分解為：LL、HL、LH和HH 4個子帶圖像。其中LL子帶集中了圖像的大部分能量，3個高頻子帶HL、LH、HH對應了圖像不同方向的邊緣信息。將小波變換后的圖像的高頻子帶繼續做Haar小波變換。每個高頻子帶做1次Haar變換后可以得到4個子帶，通過修改高頻信息，可以在重構圖像時得到需要的圖像效果。
3.1修改高頻系數
??? 令w00、w01、w10、w11表示每個高頻子帶經過Haar變換后得到的4個子帶系數，e0、e1、e2、e3分別為子帶w00、w01、w10、w11系數模最大值。為了突出邊緣，經多次實驗本文按以下公式修改高頻小波系數為：
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3.2重構圖像
??? 圖3為對修改了的小波系數進行高頻Haar逆變換和小波逆變換，即得到本文最后的的重構圖像。
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4實驗結果分析
??? 根據本文的方法對Lena(256×256)和Lena(128×128)圖像進行了處理。圖4、圖5分別為用參考文獻[1]的新邊緣插值方法、傳統小波變換方法和本文方法對Lena(256×256)和Lena(128×128)放大4倍后的結果比較。經過比較可以看出，經本文處理的圖像較好地保持了圖像的紋理特征，增強了圖像的邊緣，克服了圖像插值后的紋理模糊現象。
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??? 由圖6的 Lena(256×256) 和圖7的Lena(128×128)局部放大圖像眼部細節比較能夠清楚地看到，本文方法優于新邊緣插值方法和傳統小波變換插值法得到的放大圖像。使得到的圖像在邊緣處更加細膩，細節和紋理更加清晰。
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??? 表1列出了用參考文獻[1]方法、傳統小波變換方法和本文方法放大后圖像的峰值信噪比(PSNR)。從PSNR中也可以看出，本文方法優于參考文獻[1]方法和傳統小波變換方法，與參考文獻[1]方法相比，Lena(256×256)和Lena(128×128)圖像PSNR分別高出1.19dB和2.90dB，與傳統小波變換方法相比，Lena(256×256)和Lena(128×128)圖像PSNR分別高出0.07DB和0.02DB。
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??? 本文針對圖像超分辨率過程中傳統的插值方法誤差較大，處理后的邊緣細節及紋理不夠理想，有時會出現方塊效應或邊緣退化的缺點，利用二元樹復小波變換與邊緣插值方法相結合放大圖像，然后對放大圖像的高頻系數進行修改，最后通過小波逆變換得到重構后的圖像。實驗結果表明，與傳統方法相比，本文算法可以明顯提高圖像的清晰度，既保留了豐富的細節,又抑制了邊緣震鈴效應，同時PSNR也有所提高。將二元樹復小波變換與邊緣插值方法相結合應用到圖像超分辨率重建中來，具有一定的理論研究價值和實際應用價值。
參考文獻
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[5]?YU Len Huang. Wavelet-based image interpolation using multilayer[J]. Neural Computing and Applications, 2005, 1(14): 1-10.
[6]?KINGSBURY N. A dual-tree complex wavelet transform with improved orthogonality and symmetry properties[J]. IEEE Image processing, 2000, 1(2):375-378.