傅立葉變換是一種將信號從時域轉(zhuǎn)變?yōu)轭l域表示的變換形式，它是數(shù)字信號處理中對信號進行分析時經(jīng)常采用的一種方法。信號的一些特性在時域總是表現(xiàn)得不明顯，通過傅里葉算法，將其變換到頻域，其特性就一目了然。例如，來自供電系統(tǒng)的干擾在時域上總是不易識別，但是在頻域上就可以很清晰地看到50～60 Hz的離散諧波。
在計算機系統(tǒng)中，實際上是以離散傅立葉變換(DFT)的方式處理數(shù)據(jù)。由于DFT的運算量比較大，并不適用于嵌入式控制系統(tǒng)，所以實際應(yīng)用中常使用DFT 的快速算法一快速傅立葉變換(FFT)。雖然FFT 比DFT的計算量減少了很多，但用普通單片機來實現(xiàn)FFT多點、實時運算還是比較困難的。DSP(數(shù)字信號處理器)具有運算速度快和精度高的特點，恰好滿足FFT的要求，能較好地解決這個問題。
1 快速傅里葉變換的原理
非周期性連續(xù)時間信號x(t)的傅里葉變換可以表示為
式中計算出來的是信號x(t)的連續(xù)頻譜。但是，在實際的控制系統(tǒng)中能夠得到的是連續(xù)信號x(t)的離散采樣值x(nT)。因此需要利用離散信號x(nT)來計算信號x(t)的頻譜。
有限長離散信號x(n)，n=0，1，…，N-1的DFT定義為：
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可以看出，DFT需要計算大約N2次乘法和N2次加法。當(dāng)N較大時，這個計算量是很大的。利用WN的對稱性和周期性，將N點DFT分解為兩個N／2點的 DFT，這樣兩個N／2點DFT總的計算量只是原來的一半，即(N／2)2+(N／2)2=N2／2，這樣可以繼續(xù)分解下去，將N／2再分解為N／4點 DFT等。對于N=2m 點的DFT都可以分解為2點的DFT，這樣其計算量可以減少為(N／2)log2N次乘法和Nlog2N次加法。圖1為FFT與DFT-所需運算量與計算點數(shù)的關(guān)系曲線。由圖可以明顯看出FFT算法的優(yōu)越性。
將x(n)分解為偶數(shù)與奇數(shù)的兩個序列之和，即
x1(n)和x2(n)的長度都是N／2，x1(n)是偶數(shù)序列，x2(n)是奇數(shù)序列，則
其中X1(k)和X2(k)分別為x1(n)和x2(n)的N／2點DFT。由
于X1(k)和X2(k)均以N／2為周期，且WN k+N/2=-WN k，所以X(k)又可表示為：
上式的運算可以用圖2表示，根據(jù)其形狀稱之為蝶形運算。依此類推，經(jīng)過m-1次分解，最后將N點DFT分解為N／2個兩點DFT。圖3為8點FFT的分解流程。
FFT算法的原理是通過許多小的更加容易進行的變換去實現(xiàn)大規(guī)模的變換，降低了運算要求，提高了與運算速度。FFT不是DFT的近似運算，它們完全是等效的。
2 快速傅里葉算法在TMS320LF2407上的實現(xiàn)
根據(jù)FFT算法的特點，處理器要在一個指令周期內(nèi)完成乘和累加的工作，因為復(fù)數(shù)運算要多次查表相乘才能實現(xiàn)。其二就是間接尋址，可以實現(xiàn)增／減1個變址量，方便各種查表方法。再次，F(xiàn)FT變換的輸入序列x(n)是按所謂的碼位倒序排列的，處理器要有反序間接尋址的能力。DSP控制器專門設(shè)計了特有的反序間接尋址，并能在一個指令周期內(nèi)完成乘和累加的運算。因此，對數(shù)字信號的分析處理，DSP比其它的處理器有絕對的優(yōu)勢。本文采用TI公司C2000系列TMS320LF2407芯片來實現(xiàn)FFT算法。
TMS320LF2407定點DSP是一款專為工業(yè)控制、電機控制和數(shù)字信號處理等用途而設(shè)計的DSP，具備單周期乘加指令，具有FFT反序間接尋址功能，最高運行速度為40MIPS。為了充分利用DSP芯片特有的反序間接尋址等功能，F(xiàn)FT算法程序采用匯編語言編寫，主程序采用C語言，因此程序具有良好的兼容性和可擴展性。
主程序流程圖如圖4所示。系統(tǒng)初始化主要完成DSP的系統(tǒng)控制和狀態(tài)寄存器、等待狀態(tài)發(fā)生器控制寄存器、中斷寄存器等的必要設(shè)置。
本程序采樣函數(shù)為：x=sin(20πt)，采樣頻率為640Hz。
輸入數(shù)據(jù)波形如圖5所示。一般情況下，我們只關(guān)心信號頻域的幅度譜。幅度譜|X(k)|2的計算：X(k)=XR(k)+jX(k)，|X(k)2|=|Xr(k)|2+|Xi(k)|2。FFT計算結(jié)果的信號幅度譜|X(k)|2如圖6所示。
輸入信號頻率是10Hz，根據(jù)公式f=kfs／N，f是原始信號的頻率，k表示峰值出現(xiàn)的位置，fS是采樣頻率，N是計算的點數(shù)，從幅度譜中看出，峰值出現(xiàn)在k=1處，那么，f=1×640／64=10，與原始信號的實際頻率一致，說明計算結(jié)果正確。
3 快速傅里葉變換(FFT)的應(yīng)用
FFT在生產(chǎn)實踐和科學(xué)研究中有著廣泛的應(yīng)用。圖7為FFT的典型應(yīng)用方案。下面簡單介紹一下FFT的應(yīng)用領(lǐng)域。
(1)頻譜分析。對各類旋轉(zhuǎn)機械、電機、機床等機器的主體或部件進行實際運行狀態(tài)下的頻譜分析，可以提供設(shè)計數(shù)據(jù)和檢驗設(shè)計結(jié)果，或者找尋震源和診斷故障，保證設(shè)備的安全運行等。在聲納系統(tǒng)中，為了尋找海洋水面船只或潛艇，需要對噪聲信號進行頻譜分析，以提供有用信息，判斷艦艇運行速度、方向、位置、大小等。
(2)濾波。濾波是FFT最廣泛的應(yīng)用，它使對波形的頻率分量濾波變得十分簡單。比如對采樣信號進行FFT后，去掉不需要的頻率分量，再進行FFT反變換，就得到濾波后的期望信號。
(3)電力監(jiān)控系統(tǒng)的諧波分析。電力監(jiān)控系統(tǒng)的諧波分析，需要對采樣數(shù)據(jù)進行FFT運算，然后通過液晶屏或其它人機界面重新繪畫出來，以方便技術(shù)人員掌握電力的質(zhì)量。
4 總結(jié)
實驗證明，此程序在TMS320LF2407定點DSP中運行良好，速度快且運算結(jié)果十分可靠，其用于一般的信號處理和工業(yè)控制都能滿足精度和實時的要求，具有較高的學(xué)術(shù)價值和良好的應(yīng)用前景。其次，掌握FFT，學(xué)會在空域和頻域中同時思考問題，很多時候可以讓我們使用簡單的方法來解決復(fù)雜的問題。