FFT(快速傅里葉變換)是一種非常重要的算法，在信號處理、圖像處理、生物信息學、計算物理、應用數學等方面都有著廣泛的應用。在高速數字信號處理中，FFT的處理速度往往是整個系統設計性能的關鍵所在。FPGA(現場可編程門陣列)是一種具有大規模可編程門陣列的器件，不僅具有ASIC(專用集成電路)快速的特點，更具有很好的系統實現的靈活性。基于FPGA的設計可以滿足實時數字信號處理的要求，在市
場競爭中具有很大的優勢。因此，FPGA為高速FFT算法的實現提供了一個很好的平臺。

1 FFT算法的硬件實現
1．1 系統框圖
    本設計利用流水線技術來提高系統的性能，系統框圖，如圖1所示。其中，地址產生單元生成RAM讀寫地址，寫使能信號以及相關模塊的啟動、控制信號，是系統的控制核心；4點蝶形運算單元的最后一級輸出不是順序的；旋轉因子產生單元生成復乘運算中的旋轉因子的角度數據；旋轉因子ROM中預置了每一級運算中所需的旋轉因子。

    在FPGA設計中，為提高系統的運行速度，而將指令分為幾個子操作，每個子操作由不同的單元完成，這樣，每一級的電路結構得到簡化，從而減少輸入到輸出間的電路延時，在較小的時鐘周期內就能夠完成這一級的電路功能。在下一個時鐘周期到來時，將前一級的結果鎖存為該級電路的輸入，這樣逐級鎖存，由最后一級完成最終結果的輸出。也就是說，流水線技術是將待處理的任務分解為相互有關而又相互
獨立、可以順序執行的子任務來逐步實現。本設計中，4點蝶形運算單元、旋轉因子復乘模塊以及最后的精度截取模塊采用流水線技術來處理。
1．2 基4蝶形運算算法原理
   
    式(1)為基4蝶形運算單元的一般表達式，其中，，N為FFT運算的點數，本設計中為1 024，p為旋轉因子W的相位角，其規律將在1.4節討論。X(0)、X(1)、X(2)、X(3)為原始數據，順序輸入RAM后蝶形倒序輸出，與旋轉因子復乘再進行4點蝶形運算，而X1(0)、X1(1)、X1(2)、X1(3)即為第1級蝶形運算的結果。此時RAM存儲的原始數據已經清空，將第1級蝶形運算結果再存回RAM中，按照一定的地址輸出后，與第2級的旋轉因子復乘、4點蝶形運算，得到第2級蝶形運算結果，依此類推。由于蝶形運算為同址操作，所以第2級的RAM寫地址即為第一級的RAM讀地址，每一級的RAM讀地址規律將在1．3節中討論。
    1024點的基4-FFT共需要5級蝶形運算，每級需要計算256個蝶形，其傳統實現框圖如圖2所示。

    考慮到第一級蝶形運算不需要旋轉因子，所以第一級的旋轉因子復乘模塊可以省略，但本設計的硬件結構需要循環利用，一般情況下，可以對第一級數據進行×1運算，再進行4點蝶形運算。不過，考慮到我們并不關心每一級蝶形運算后的結果，本文提出了一種蝶形運算的新結構：即先進行前一級的4點蝶形運算，再進行本級的與旋轉因子復乘運算，如圖3所示。

    可以看出，圖3減少了一個旋轉因子復乘模塊，不但節約了一次乘法運算時間，也省略了第一級旋轉因子，更好地利用了硬件結構。
    首先，在QuartusⅡ環境中對4點蝶形運算時序仿真，采用流水線設計，連續輸入連續輸出，仿真結果如圖4所示。

    由圖4可以看出，輸出比輸入延時6個時鐘，這在系統的控制核心地址產生單元的設計中需要考慮到。
1．3 地址產生與時序控制
    對于1 024．點基4 FFT運算，需要5級蝶形運算，每一級運算都要有寫地址和讀地址，根據FFT同址運算的特點可知，當前的寫地址即是上一級蝶形運算的讀地址。因此完成FFT運算需要設計6級RAM地址。其中第1級的寫地址即是數據輸入的順序地址，不予討論。最后一級讀地址為數據正序輸出所需的地址。其余4級為1 024點數據對應的FFT蝶形運算。
    第一級讀取節點地址的順序應該是：(0，256，512．768)，(1，257，513，769)，……，(255，511．767，1 023)。易觀察其讀地址的規律如下：設讀取次序的二進制編碼為bit[9：0]；則讀地址的二進制編碼為{bit[1：O]，bit[9：2]}，并且依次可以推出第2、3、4級的讀地址二進制編碼分別為{bit[9：8]，bit[1：0]，bit[7：2]}，{bit[9：6]，bit[1：0]，bit[5：2]}、{bit[9：4]，bit[1：0]，bit[3：2]}，而最后一級輸出數據的地址二進制編碼則為：{bit[1：0]，bit[3：2]，bit[5：4]，bit[7：6]，bit[9：8]}。圖5給出了第1級讀地址和第2級讀地址的部分數據，也可以看出第2級的寫地址即是第1級的讀地址。

    圖1中的地址產生單元作為系統的控制核心，不僅要生成每一級的RAM讀寫地址，還要產生RAM寫使能信號、輸出有效信號以及4點蝶形運算單元和旋轉因子產生單元的啟動信號，由于時序電路還需要考慮器件延時，例如上文提到的4點蝶形運算輸出比輸入延時6個時鐘，以及RAM存取數據輸出比輸入延時1個時鐘，這些都需要在控制核心中考慮到。
1．4 旋轉因子產生
    對于1 024點FFT蝶形運算，需要1 024個旋轉角度(即2π的1 024等份)，其中第一級不需要復乘運算，第6級只是將數據進行整序沒有運算單元，其他4級都需要旋轉因子。本設計采用將旋轉因子預置于ROM中，通過查找表方法得出每一級運算的所需的旋轉因子。根據旋轉因子的可約性，后幾級運算所需的旋轉因子都可以在第一級運算的旋轉因子中找到，因此無需另外存儲。旋轉因子在ROM中的存儲規律是：旋轉因子相位角p處存儲旋轉因子W=*****。定義一個10 bit的計數器count[9：0]，則第2、3、4、5級ROM的相位角規律按照Verilog語法可表示為

    為了節省資源，本設計只在ROM單元中存儲了前256個旋轉因子數據，即第一象限因子其余象限的因子可通過象限轉換后得到，這樣就大大節省了存儲單元的硬件資源。圖6為旋轉因子產生單元在QuartusⅡ環境中仿真結果的部分數據。

2 系統仿真結果
    輸入數據為s=1 024×cos(2π×f_in×t)，其中f_in=50 M，Fs=80 MHz，n=40，t=0：1／Fs：(n-1)／Fs，利用QuartusⅡ軟件對系統在100 MHz的時鐘環境下進行了仿真，將仿真輸出結果轉換成tbl文件并利用Matlab軟件讀取后，得到如圖7所示的頻譜數據圖(實部數據部分)。

    圖8所示為Maflab自帶FFT函數對于輸入相同1 024點數據的FFT計算結果(同樣為實部數據部分)。
    通過比較可以看到，本設計的仿真結果與Matlab的仿真結果基本一致，可以正確高效地計算出1 024點FFT數據。

3 結束語
    本設計全部由Verilog HDL語言實現，采用自頂向下的設計方法，完成了一種基于FPGA的1 024點16位FFT算法，共需要5級運算，每級需要計算256個蝶形。提出了將蝶形運算先進行前一級的蝶形加減運算，再進行本級的與旋轉因子復乘運算的結構。由前所述，平均每個蝶形運算需要4個時鐘周期，所以理論上完成1 024點FFT的總時鐘周期為N=256×4×5=5 120；假設使用的時鐘為100MHz，那么將耗時T=5 120×(1／100)=51．2μs，這與仿真結果51．32μs基本一致。